1、6已知,是一个三角形的三个内角,如果取得最大值,则 7从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数,则2017被取到的可能性为 8已知是正整数集合的无穷子集,满足对任何,将中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为,且已知,则 二、解答题 (本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9设直线:与椭圆:不相交.过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结.(1)当点在直线上运动时,证明:直线恒过定点;(2)当时,定点平分线段.10已知函数,数列、满足,.(1)讨论数列的单调性;(2)求证:,.11(1)求使方程 (*)有正整数解的最大正整数.(2)用表示方程(
2、*)的所有正整数解()构成的集合,当为奇数时,我们称中的每一个元素为方程(*)的一个奇解;当为偶数时,我们称中的每一个元素为方程(*)的一个偶解.证明:方程(*)中所有奇解的个数与偶解的个数相等.参考答案及评分标准1. 2.3. 4. 5.6. 7. 8. 9证明:(1)设、.则椭圆过点、的切线方程分别为,.因为两切线都过点,则有,.这表明、均在直线上,由两点决定一条直线知,式就是直线的方程,其中满足直线的方程.当点在直线上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的为代入消去得对一切恒成立,变形可得,对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.(2)当时,由式知,解得代入,得此时的方程为将此方程与椭圆方
3、程联立,消去得由此可得,此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即代入式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即这就是说,点平分线段.10解:(1),则所以,解得.所以当时,数列单调上升;所以当时,数列,;所以当时,数列单调下降。证明:(2)因为单调上升,计算得,由(1)知所以,(i)当,时,故当时,同理,.故(ii)当,时,由(1)得:.所以,(iii)最后,当,时,我们有,所以11解:(1)因为所以.当时,为方程(*)的一组正整数解,故所求最大值为.(2),令与之对应,其中,则,且.令.那么是到的双射,所以:(表示集合中所含元素的个数).,我们用表示中使得成立的最小下标,即:,.因为,所以满足条件的正整数存在且,并记.若,我们断言,否则,因此,于是我们有:此不可能.所以是唯一确定的元素且.若且时,我们断言.否则因此.于是我们有:由此我们证明了:,是到自身的映射且,如果我们能够证明是满射,则也是单射,因而是双射,从而:即:事实上,如果,则存在,使得:如果,则存在.故是满射,结论成立.