1、6. 从集合随机取一个为,从集合随机取一个为,则方程表示双曲线的概率为 7. 已知数列是公比为的等比数列,且、成等差数列,则 8. 若将函数表示成,则的值等于 9. 如图,长方体的边长,它的外接球是球,则、这两点的球面距离等于 10. 椭圆的长轴长等于,短轴长等于,则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 11. 是不超过的最大整数,则方程满足的所有实数解是 12. 函数,对于且(),记,则的最大值等于 二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 下列函数是奇函数的是( )A. B. C. D. 14. 在Rt中,点、是线段的三等分点,点在线段上运动且满足,当取得最小值时,实数的值为(
2、)A. B. C. D. 15. 直线与圆交于、两点,且,过点、分别作的垂线与轴交于点、,则等于( )A. B. 4 C. D. 816. 已知数列的首项,且,是此数列的前项和,则以下结论正确的是( )A. 不存在和使得 B. 不存在和使得C. 不存在和使得 D. 不存在和使得三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 如图,直三棱柱的底面是等腰直角三角形,高等于3,点、为所在线段的三等分点.(1)求此三棱柱的体积和三棱锥的体积;(2)求异面直线、所成的角的大小.18. 已知中,角、所对应的边分别为、,(是虚数单位)是方程的根,.(1)若,求边长的值;(2)求面
3、积的最大值.19. 平面内的“向量列” ,如果对于任意的正整数,均有,则称此“向量列”为“等差向量列”, 称为“公差向量”,平面内的“向量列” ,如果对于任意的正整数,均有(),则称此“向量列”为“等比向量列”,常数称为“公比”.(1)如果“向量列” 是“等差向量列”,用和“公差向量” 表示;(2)已知是“等差向量列”,“公差向量” ,是“等比向量列”,“公比” ,求.20. 如果直线与椭圆只有一个交点,称该直线为椭圆的“切线”,已知椭圆,点是椭圆上的任意一点,直线过点且是椭圆的“切线”.(1)证明:过椭圆上的点的“切线”方程是;(2)设、是椭圆长轴上的两个端点,点不在坐标轴上,直线、分别交轴
4、于点、,过的椭圆的“切线” 交轴于点,证明:点是线段的中点;(3)点不在轴上,记椭圆的两个焦点分别为和,判断过的椭圆的“切线” 与直线、所成夹角是否相等?并说明理由.21. 已知函数(R,R),(R).(1)如果是关于的不等式的解,求实数的取值范围;(2)判断在和的单调性,并说明理由;(3)证明:函数存在零点,使得成立的充要条件是.【解析】画数轴,【解析】由【解析】,【解析】设三边为a、b、c,对角线为d,也可取正方体的特殊情况去求【解析】,【解析】【解析】,或【解析】,【解析】外接球半径为1,球面距离为10. 椭圆的长轴长等于,短轴长等于,则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公
5、众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质,最大值为【解析】当,;当,满足条件的所有实数解为或【解析】在有4个周期,最大值为【解析】由,选B【解析】建系,设,时取到最小值,此时,选C【解析】长为直径,经过原点,选D【解析】令,则所有奇数项都为1,偶数项都为5,排除B、C;令,则所有奇数项都为2,偶数项都为4,排除D,故选A. (1);(2)相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角,为(1)解为,由正弦定理,;(2)画出ABC的外接圆可知,时,面积最大,为. (2),错位相减求和为(1)设直线,联立椭圆,可证结论;(2),同理,即点是线段的中点(3)相等,由夹角公式,所以所成夹角相等. (2)根据单调性定义分析,在上递减,在上递增;(3)“函数存在零点,使得成立”说明成立,根据无穷等比数列相关性质,结合第(2)问,在上递减,在上递增,反之亦然.
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