高考数学中地内切球和外接球问题附习题Word文档下载推荐.docx

1、C.3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.外接球的半径.小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法（补形法）1、构造体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以

2、将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为例 6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. （如图2）例7）在等腰梯形中，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（ ）.解析：（如图3） 因为，所以，即三棱锥为正四

3、面体，至此，这与例6就完全相同了，故选C. 例8 （2已知球的面上四点A、B、C、D，则球的体积等于 .本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）2、例9（2008年高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，若，则球的体积是 .首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）本文

4、章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A. B. C. D.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.由球的截面的性质，可得.又，球心必在所在的直线上.的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结 根据题意，我们可

5、以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五 .确定球心位置法例5 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A. B. C. D.解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的半径.故.选C.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。直角三角形斜边中线等于

6、斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，, 因为 所以知所以 所以可得图形为：在中斜边为取斜边的中点，在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1. （理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球

7、的表面积为. 3正三棱柱接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B C D答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。5.已知体外接球的体积是，那么体的棱长等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D6.（2006卷）体的切球与其外接球的体积之比为 （ ）A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C7.（2008、理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答

8、案 8. （2007天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为答案 9.（2007全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.10.（2006）如图，半径为2的半球有一接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_11.（省一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 .答案 12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A B C D以上都不对 答案C13.设体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ） A B2 C4 D1 （2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为 （）25（2012文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2形.若PA=2,则OAB的面积为_.