线性代数重要公式模板Word格式文档下载.docx

1、、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7. 证明的方法：、；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0是其特征值；2矩阵8. 是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；9. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；10. 11. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：、

2、；、；、；（主对角分块）、；（副对角分块）、；（拉普拉斯）、；3矩阵的初等变换与线性方程组13. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；14. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；15. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）1、 若，则可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；16. 初等矩阵和对角矩阵

3、的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，符号，且，例如：、倍乘某行或某列，符号，且，例如：、倍加某行或某列，符号,且，如：17. 矩阵秩的基本性质：、若，则；、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）（）、；、；、如果是矩阵，是矩阵，且，则： 、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）； 、若、均为阶方阵，则；18. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 注：、展开后

4、有项；、组合的性质：、利用特征值和相似对角化：19. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：、伴随矩阵的特征值：、20. 关于矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）、，中有阶子式全部为0；、，中有阶子式不为0；21. 线性方程组：，其中为矩阵，则：、与方程的个数相同，即方程组有个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；22. 线性方程组的求解：、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；23. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）、（全部按列分块，其中）；、（线性

5、表出）、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4向量组的线性相关性24. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25. 、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）26. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；（例14）27. ；（例15）28. 维向量线性相关的几何意义：、线性相关 ；、线性相关 坐标成比例或共线（平行）；、线性相关 共面；29. 线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关

6、，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则（二版定理7）；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解； （定理2） 向量组能由向量组等价（定理2推论）31. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解、矩阵列等价：（右乘，可逆）；、矩阵等价：（、可逆）；32. 对于矩阵与：、若与行等价，则与的行秩相等；

7、、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；33. 若，则：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）34. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、 只有零解只有零解；、 有非零解一定存在非零解；35. 设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（） 其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：充分性：反证法）当时，为方阵，可当作定理使用；36. 、对矩阵，存在， 、的列向量线性无关；、对

8、矩阵，存在， 、的行向量线性无关；37. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：39. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）5相似矩阵和二次型40. 正交矩阵或（定义），性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、正交阵，则也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；41. 施密特正交化： ;42. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；43. 、与等价 经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；、与合同 ，其中可逆； 与有相同的正、负惯性指数；、与相似 ；44. 相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45. 为对称阵，则为二次型矩阵；46. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数； 的各阶顺序主子式均大于0； ；（必要条件）