解三角形应用举例距离教学案Word格式.docx

1、 B.= C.+=90 D.+=180【解析】选B.根据仰角与俯角的定义知=.2.如图所示,在河岸AC测量河的宽度BC,图中所标的数据a,b,c,是可供测量的数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是（）A.c和 B.c和b C.c和 D.b和选D.由于B点不能到达,所以较易测出的数据是b与.3.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点的距离为_m.4.一艘船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与

2、灯塔的距离为_km.5.如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距 km的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45（A,B,C,D在同一平面内）,求两个目标A,B之间的距离.（仿照教材P11例2的解析过程）典例分析例题1、如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,BAC=75,BCA=45,求A,B两点的距离.结合条件,利用正弦定理求解.【解析】ABC=180-75-45=60,所以由正弦定理得, 所以AB= 即A,B两点间的距离为 m.小结：求距离问题时应注意的两点（1）选定

3、或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.变式训练如图所示,为了测量水田的宽度,某观测者在A的同侧选定一点C,测得AC=8m,BAC=30,则水田的宽度为_.方法一:过点B作BDAC,在RtBDA及RtBDC中AD= AC=AD+CD= 所以BD=类型二:测量两个不可到达的点之间的距离例2、如图A,B为两可看到目标,但不能到达.C,D两点可到达且测得CD= 并且测得ADB=30,BDC=30,DCA=60,ACB=45,求AB的长度.因为ADC=ADB+CDB=60,又

4、因为ACD=60所以DAC=60所以AD=CD=AC= 在BCD中,DBC=180-30-105=45,由正弦定理得所以BD=CD 在ADB中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB所以AB=测量不可到达的两点之间的距离问题的关键（1）选取的基线既易于测量,又简单恰当.（2）要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.变式训练：如图,CD是京九铁路线上的一条穿山隧道,开凿前,在CD所在水平面上的山体外取点A,B,并测得四边形ABCD中, AB=BC=400米,AD=250米,则应开凿的隧道CD的长为_米.在ABC中,AB=BC=400米,ABC= 所以ABC

5、为等边三角形,BAC= 又BAD= 故CAD= 所以在ACD中,由余弦定理得,CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=4002+2502-2400250 cos =122500,所以CD=350（米）.答案:350如图,从气球A测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B,C的俯角分别为,此时气球的高度为h,则两个场馆B,C间的距离为（）选B.在ADC中,AC= 在ABC中,由正弦定理得BC=类型三:航行中的距离问题例3、如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距 海里的C点的救援

6、船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间?分析：已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.而观察CD所在的三角形,有ADC和BDC,确定用BDC来求CD.由题意知AB= 海里,因为DAB=90,DBA=90-60=30,所以ADB=180-（45+30）=105在ADB中,由正弦定理得=又因为DBC=DBA+ABC=30+（90）=60BC= 海里,所以在DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC所以CD=30（海里）,所以需要的时间t= 1（小时）,即救援船到达D点至少需要1小时.1.（改变问法）本例条件不变,该救援船应沿

7、东偏北多少度的方向去营救?由本例解析知在BCD中, CD=30,故DB2+CD2=BC2.所以CDB=90,又因为CBD=60.所以DCB=30过C作AB的平行线CE,即BCE=CBA=30,所以DCE=60故该救援船应沿东偏北60的方向去营救.2.（变换条件、改变问法）本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?设救援船的速度为v海里/小时,由本例解析求得CD=30海里,由 得v45.即救援船的最小速度为45海里/小时.五、课堂小结1、求距离问题时应注意的两点2、航行问题的解题技巧（1）在航行等问题中,通常是把方位角（方向角）与几何图形结

8、合起来,求出几何图形的有关角.（2）几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.六、教学反思课堂巩固练习1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较适宜的是（）A.a,c, B.b,c, C.c,a, D.b,【解析】选D.由,b,可利用正弦定理求出BC.2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,A=30,则其跨度AB的长为（）A.12m B.8m C.3m D.4m解析选D.由题意知,A=B=30,所以C=180=120,由正弦定理得,=,即AB=4.3.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地

9、的距离为20km,现测得ABC=120,则A,C两地的距离为（）A.10km B.km C.10km D.10km【解析】选D.由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=102+202-21020cos 120=700,所以AC=10（km）.4.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10km,A=30,B=45,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走（结果精确到0.1km）（参考数据:1.41,1.73）（）A.3.4km B.2.3km C.5km D.3.2km【解析】选A.过点C

10、作CDAB,垂足为点D.在RtCAD中,AC=10km,CD=AC=5km,AD=ACcos30=5km.在RtBCD中,B=45,BD=CD=5km,BC=5km.AB=AD+BD=（5+5）km,AC+BC-AB=10+5-（5+5）=5+5-55+51.41-51.73=3.4km.5.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等.灯塔A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏东60,那么灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10【解析】选B.如图,由已知得ACB=180-（40+60）=80,因为AC=BC,所以CAB=CBA=（180-80）=50又E

11、CBD,所以CBD=BCE=60,则ABD=60-50=10所以灯塔A在灯塔B的北偏西106.甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是（）A.21.5分钟 B.分钟 C.分钟 D.2.15分钟【解析】选C.如图所示,设甲船行至C点,乙船行至D点时甲、乙两船相距最近,它们所航行的时间是x小时,则CD2=（10-4x）2+（6x）2-2（10-4x）6xcos120=28x2-20x+100,所以当x=小时,即分钟时,CD2取最小值,即两船相距最近.7.如图所示

12、为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15m,吊索AB=5m,起吊的货物与岸的距离AD为（）A.30 m B.m C.15m D.45 m【解析】选B.在ABC中,AC=15m,AB=5m,BC=10m,由余弦定理得cosACB=-,所以sinACB=.又ACB+ACD=180所以sinACD=sinACB=.在RtACD中,AD=ACsinACD=15=（m）.【误区警示】解答本题若选择求ABC的余弦值,再解RtABD求AD,则运算量较大,极易出错.8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距（）A.10m B.100m C.20m D.30m【解析】选D.设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D,可知BAD=45,CAD=60,BDC=30,AD=30,分别在RtADB,RtADC中,求得DB=30,DC=30.在DBC中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2DBDCcos30,解得BC=30.9.我舰在岛A南偏西50相距12海里的B处发现敌舰正