1718版 选修45 第2节 不等式的证明文档格式.docx

1、（2）综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法即“执果索因”的方法1（思考辨析）判断下列结论的正误（正确的打“”，错误的打“”）（1）比较法最终要判断式子的符号得出结论（）（2）综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论（）（3）分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发

2、，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实（）（4）使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用（）答案（1）（2）（3）（4）2（教材改编）若ab1，xa，yb，则x与y的大小关系是（）Axy BxyCxy DxyAxyaab.由ab1得ab1，ab0，所以0，即xy0，所以xy.3（教材改编）已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_MN2a3b3（2ab2a2b）2a（a2b2）b（a2b2）（a2b2）（2ab）（ab）（ab）（2ab）因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而（ab）（ab）（2ab）0，故2a3b32ab

3、2a2b.4已知a0，b0且ln（ab）0，则的最小值是_4由题意得，ab1，a0，b0，（ab）2224，当且仅当ab时等号成立5已知x0，y0，证明：（1xy2）（1x2y）9xy.证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，8分故（1xy2）（1x2y）339xy.10分比较法证明不等式已知a0，b0，求证：.证明法一：（）0，.10分法二：由于111.8分又a0，b0，0，.10分规律方法1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明ab转化为证明1（b0）2作差（商）证明不等式，关键是对差（商）式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的

4、两边应同号提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号变式训练1（2017莆田模拟）设a，b是非负实数，求证：a2b2（ab）. 【导学号：31222447】证明因为a2b2（ab）（a2a）（b2b）a （）b （）（）（ab）.6分因为a0，b0，所以不论ab0，还是0ab，都有ab与同号，所以（ab）0，所以a2b2（ab）.10分综合法证明不等式设a，b，c均为正数，且abc1，证明： 【导学号：31222448】（1）abbcac；（2）1.证明（1）由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，由题设得（abc）21，即a2b2c22ab2bc2c

5、a1，所以3（abbcca）1，即abbcca.5分（2）因为b2a，c2b，a2c，故（abc）2（abc），则abc，所以1.10分规律方法1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2BnB（A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论），它的常见书面表达式是“，”或“”2综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键变式训练2（2017石家庄调研）已知函数f（x）2|x1|x2|.（1）求f（x）的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解（1）当x1时，f（x）

6、2（x1）（x2）3x3；2分当1x2时，f（x）2（x1）（x2）x43,6）；当x2时，f（x）2（x1）（x2）3x6.综上，f（x）的最小值m3.5分（2）证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为（abc）22（abc）.8分（当且仅当abc1时取“”）所以abc，即3.10分分析法证明不等式（2015全国卷）设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：（1）若abcd，则；（2）是|ab|cd|的充要条件证明（1）a，b，c，d为正数，且abcd，欲证，只需证明（）2（）2，也就是证明ab2cd2，只需证明，即证abcd.由于abcd，因此.5分（2）若|ab|cd|，则（a

7、b）2（cd）2，即（ab）24abcd.由（1），得.8分若，则（）2（）2，即ab2cd2.于是（ab）2（ab）24ab（cd）24cd（cd）2.因此|ab|cd|的充要条件.10分规律方法1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明2当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆3分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：变式训练3已知abc，且abc0，求证：a.证明要证a，只需证b2ac3a2.abc0，只需证b2a（a

8、b）3a2，只需证2a2abb20，4分只需证（ab）（2ab）0，只需证（ab）（ac）0.abc，ab0，ac0，（ab）（ac）0显然成立，故原不等式成立.10分思想与方法1比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法关键在于判定商值与1的大小（一般要求分母大于0）2分析法：BB1B2BnA（结论）（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知）3综合法：AB1B2BnB（已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）易错与防范1使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论，再

9、说明所要证明的数学问题成立课时分层训练（七十）不等式的证明1已知定义在R上的函数f（x）|x1|x2|的最小值为a.（1）求a的值；（2）若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.解（1）因为|x1|x2|（x1）（x2）|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即a3.4分法一：由（1）知pqr3，且p，q，r大于0，（pqr）29.又易知p2q2r2pqprqr.8分故9（pqr）2p2q2r22pq2pr2qr3（p2q2r2），因此，p2q2r23.10分由（1）知pqr3，又因为p，q，r是正实数，所以（p2q2r2）（121212）（p1q1r

10、1）2（pqr）29，故p2q2r23.10分2（2015湖南高考）设a0，b0，且ab.证明：（1）ab2；（2）a2a2与b2b0，得ab1.2分（1）由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.5分（2）假设a2a2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a0，且.（1）求a3b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解（1）由，得ab2，当且仅当ab时等号成立.2分故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.5分（2）由（1）知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.10分4（2017石家庄模拟）已知函数f（x）|x|x1|.（1）若f（x）|m1|恒成立，求实数m的最大值M；（2）在（1）成立的条件下，正实数a，b满足a2b2M，证明：ab2ab. 【导学号：31222449】解（1）f（x）|x|x1|x（x1）|1，当且仅当0x1时取等号，f（x）|x|x1|的最小值为1.3分要使f（x）|m1|恒成立，只需|m1|1，0m2，则m的最大值M2.5分由（1）知，a2b22，由a2b22ab，知ab1.又ab2，则（ab）2ab.8分由知，1.故ab2ab.10分5已知函数f（x）k|x3|，kR，且f（x3）0的