浙江专版版高考数学一轮复习第十三章直接证明与间接证明学案Word文档格式.docx

1、17（1）,7分18（1）,7分20,15分20（文）,15分22（2）,（3）,约10分2.数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.22（1）,约5分分析解读1.直接证明与间接证明、数学归纳法是高考的考查内容,综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相反的两种证明方法.分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,综合运用,效果会更好.2.数学归纳法常与数列、不等式等知识综合在一起,往往综合性比较强,对学生的思维要求比较高.3.综合法与分析法因其在解决问题中的巨大作用而得到命题者的青睐,预计2019年高

2、考试题中,直接证明、间接证明与导数综合出题的可能性较大.五年高考考点一直接证明与间接证明 1.（2017课标全国理,7,5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D2.（2016北京,8,5分）袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是

3、红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B3.（2017北京文,14,5分）某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:（i）男学生人数多于女学生人数;（ii）女学生人数多于教师人数;（iii）教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;该小组人数的最小值为.答案6124.（2017北京理,20,13分）设an和bn是两个等差数列,记cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn

4、-ann（n=1,2,3,）,其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数.（1）若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列;（2）证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.解析本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.（1）c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.当n3时,（bk+

5、1-nak+1）-（bk-nak）=（bk+1-bk）-n（ak+1-ak）=2-n0时,取正整数m,则当nm时,nd1d2,因此cn=b1-a1n.此时,cm,cm+1,cm+2,是等差数列.当d1=0时,对任意n1,cn=b1-a1n+（n-1）maxd2,0=b1-a1+（n-1）（maxd2,0-a1）.此时,c1,c2,c3,cn,是等差数列.当d1时,有nd1max,故当nm时,M.5.（2016江苏,20,16分）记U=1,2,100.对数列an（nN*）和U的子集T,若T=,定义ST=0;若T=t1,t2,tk,定义ST=+.例如:T=1,3,66时,ST=a1+a3+a66.

6、现设an（nN*）是公比为3的等比数列,且当T=2,4时,ST=30.（1）求数列an的通项公式;（2）对任意正整数k（1k100）,若T1,2,k,求证:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=（3k-1）3k.因此,STak+1.（3）下面分三种情况证明.若D是C的子集,则SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,则SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC,则E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由SCSD得SESF.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k1,l1

7、,kl.由（2）知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-11,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,a1都是3的倍数.从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.（3）由a136,an=可归纳证明an36（n=2,3,）.因为a1是正整数,a2=所以a2是2的倍数,从而当n3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由（2）知对所有正整数n,an是3的倍数,因此当n3时,an12,24,36,这时M的元素个数

8、不超过5.如果a1不是3的倍数,由（2）知对所有正整数n,an不是3的倍数,因此当n3时,an4,8,16,20,28,32,这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.7.（2014江苏,23,10分）已知函数f0（x）=（x0）,设fn（x）为fn-1（x）的导数,nN*.（1）求2f1+f2的值;对任意的nN*,等式=都成立.解析（1）由已知,得f1（x）=f 0（x）=-,于是f2（x）=f 1（x）=-=-+,所以f1=-, f2=-+.故2f1+f2=-1.由已知,得xf0（x）=sin x,

9、等式两边分别对x求导,得f0（x）+xf 0（x）=cos x,即f0（x）+xf1（x）=cos x=sin,类似可得2f1（x）+xf2（x）=-sin x=sin（x+）,3f2（x）+xf3（x）=-cos x=sin,4f3（x）+xf4（x）=sin x=sin（x+2）.下面用数学归纳法证明等式nfn-1（x）+xfn（x）=sin对所有的nN*都成立.（i）当n=1时,由上可知等式成立.（ii）假设当n=k时等式成立,即kfk-1（x）+xfk（x）=sin.因为kfk-1（x）+xfk（x）=kf k-1（x）+fk（x）+xf k（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x

10、）,=cos=sin,所以（k+1）fk（x）+xfk+1（x）=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合（i）（ii）可知等式nfn-1（x）+xfn（x）=sin对所有的nN*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin（nN*）.所以=（nN*）.教师用书专用（8）8.（2013江苏,19,16分）设an是首项为a,公差为d的等差数列（d0）,Sn是其前n项的和.记bn=,nN*,其中c为实数.（1）若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk（k,nN*）;（2）若bn是等差数列,证明:c=0.证明由题意得,Sn=na+d.（1）由c=0,得bn=a+d.又因为b

11、1,b2,b4成等比数列,所以=b1b4,即=a,化简得d2-2ad=0.因为d0,所以d=2a.因此,对于所有的mN*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,nN*,有Snk=（nk）2a=n2k2a=n2Sk.（2）设数列bn的公差是d1,则bn=b1+（n-1）d1,即=b1+（n-1）d1,nN*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的nN*,有n3+n2+cd1n=c（d1-b1）.令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c（d1-b1）,则对于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.（*）在（*）式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,从而有由得A=0,cd1=-5B,代入方程,得B=0,从而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以