高中数学知识点大全圆锥曲线.docx

1、高中数学知识点大全圆锥曲线 高中数学知识点大全圆锥曲线一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： 定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：； 定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： 定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长

2、的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： 定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为： （2）标准方程和性质： 焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； 标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致； 标准方

3、程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 3、椭圆形状与e的关系：当e0，c0，椭圆圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e1，ca椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。 4、利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点的坐标分别为，则弦长 这里体现

4、了解析几何“设而不求”的解题思想。 5、若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为AB，则；6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形。 7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。 9、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数a、b、c中a、b不同（互换）c相同,它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭

5、双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为1。 10、过双曲线外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： （1）P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； （2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； （3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；（4）P为原点时不存在这样的直线； 11、结合图形熟记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；两线：准线、焦点弦；梯形：直

6、角梯形ABCD。 12、对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化计算； 13、抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为AB，且 ，则有如下结论： 14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线； 15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系： 16、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条件0是否成

7、立。5、圆锥曲线： （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为点P到定直线的l 距离， e为常数，如图。 （2）当0e1时，点P的轨迹是椭圆；当e1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时，点P的轨迹是抛物线。 （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。 定性：焦点在与准线垂直的对称轴上 椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称； 椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称；抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。 定量： （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变） 以焦点在x轴上的方

8、程为例： 6、曲线与方程： （1）轨迹法求曲线方程的程序： 建立适当的坐标系； 设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)； 列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0； 化简方程f(x,y)=0为最简形式； 证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上； （2）曲线的交点： 由方程组确定，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。二、复习点睛： 1、圆锥曲线：用不通过圆锥面顶点的平面去截该圆锥面时所得到的截痕（根据截的方法不同，可得到不同的截痕），总称为圆锥曲线。 （1）用不平行于母线的平面去截圆锥时，如果截痕全在顶点的一侧，则得到的图形是椭圆；如

9、果截痕出现在两侧，则得到的图形是双曲线； （2）用平行于母线的平面去截圆锥时，得到的图形则是抛物线； （3）用平行于底面，或垂直于轴的平面去截时，得到的图形则是圆；这些曲线的方程都是二次方程，所以圆锥曲线又称为二次曲线。 2、研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。掌握椭圆，双曲线，抛物线的标准方程，首先要理解它们的意义，不仅要掌握怎么依据这些定义得到相关标准方程的，也要能依据定义去处理一些有关的概念性问题，还要注意区分不同曲线的标准方程的不同特点，方程的系数的不同的意义，并能结合图形认识这些导致之间不

10、同的关系，从而能迅速而正确的求出相关圆锥曲线的标准方程。 3、以标准方程为依据，研究圆锥曲线的性质，对圆来讲比较简单，仍然要注意适当运用平面几何中已学过的知识和方法，对于椭圆、双曲线、抛物线来讲，则要注意标准方程不同形式时，所得性质的不同表示，复习中要注意从数和形两个方面都有所理解，并使之结合，达到能熟练的由标准方程，得出有关圆锥曲线几何性质的要求，还能由给出圆锥曲线的某些性质，正确求出圆锥曲线的标准方程 4、用解析法研究圆锥曲线的性质，重点是直线与圆锥曲线的关系，这里的基本要求是会利用方程组判断直线和圆锥曲线的位置关系，会求直线被圆锥曲线所截得的弦的长，中点坐标，会处理圆锥曲线的有关对称问题

11、，以及其他一些综合问题。而综合问题大致可分三类：一类是研究对象的综合，一个问题中同时出直线或圆锥曲线中的某几种，二是研究课题的综合，既研究求方程或其他有关轨迹的问题，又研究有关的性质问题，三是数学思想方法的综合，研究过程中要求对数形结合，分类讨论，方程思想，函数思想等等作综合运用，复习中不应过于强调题型，过于强调不同题型和方法的对照，而要着眼于对问题的全面分析，把解析几何的基本思想，基本知识和方法，怎么用于问题解决中去的思考上 5、涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题，椭圆和双曲线的两个定义间是等价的，它们是这两种曲线不同的定义方式。 6、直线和圆锥曲线位置关系 （1）位置关系判断：法（适用对象是

12、二次方程，二次项系数不为0）。 其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于或方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点，包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于或方程的二次项系数为0。 （2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。 7、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立之间的关系； （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 （3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接

13、写出动点的轨迹方程； （4）代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。（6）注意： 如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化。 8、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立