1、有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间),并不说明置信度,也不给出被调查的人数,这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄(显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式),反之亦然。4解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%(的区间)包含参数。不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间,就以为该区间以0.95的概率覆盖总体参数。5简述样本量与置信水平、总
2、体方差、估计误差的关系。1.估计总体均值时样本量n为其中:2.样本量n与置信水平1-、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平成正比,在其他条件不变的情况下,置信水平越大,所需要的样本量越大;与总体方差成正比,总体的差异越大,所要求的样本量也越大;与与总体方差成正比,样本量与估计误差的平方成反比,即可以接受的估计误差的平方越大,所需的样本量越小。二、练习题1从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本,样本均值为25。1)样本均值的抽样标准差等于多少?2)在95%的置信水平下,估计误差是多少?解: 1) 已知 = 5,n = 40, = 25 = 5 40 0.79 2
3、) 已知 估计误差 E = 1.965401.552某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。1)假定总体标准差为15元,求样本均值的抽样标准误差。2)在95%的置信水平下,求估计误差。3)如果样本均值为120元,求总体均值的95%的置信区间。1)已知 = 15,n = 49 = 1549 = 2.14 2)已知 1549 4.23)已知 = 120 置信区间为 E 其置信区间 = 1204.23从一个总体中随机抽取n =100的随机样本,得到 =104560,假定总体标准差 = 85414,试构建总体均值 已知n =100, =104
4、560, = 85414,1-a95% ,由于是正态总体,且总体标准差已知。总体均值m在1-a置信水平下的置信区间为 104560 1.9685414100 = 104560 16741.1444从总体中抽取一个n =100的简单随机样本,得到 =81,s=12。要求:1)构建的90%的置信区间。2)构建3)构建的99%的置信区间。由于是正态总体,但总体标准差未知。总体均值m在1-a置信水平下的置信区间公式为 8112100 = 811.21)1-a90%,1.65 其置信区间为 81 1.982)1-a95% , 2.3523) 1-a99%,2.58 3.0965利用下面的信息,构建总体均
5、值的置信区间。1)= 25, = 3.5,n =60,置信水平为95%2)=119,s =23.89,n =75,置信水平为98%3)=3.149,s =0.974,n =32,置信水平为90% 1) 1-a95% , 其置信区间为:253.560 = 250.885 2) 1-a98% ,则a=0.02, a/2=0.01, 1-a/2=0.99,查标准正态分布表,可知:2.33 其置信区间为: 1192.3323.8975 = 1196.3453) 1-a90%,1.653.1491.650.97432 = 3.1490.2846利用下面的信息,构建总体均值的置信区间:1)总体服从正态分布
6、,且已知 = 500,n = 15, =8900,置信水平为95%。 N=15,为小样本正态分布,但已知。则1-a95%,。其置信区间公式为置信区间为:890050015=(8646.7 , 9153.2)2)总体不服从正态分布,且已知 = 500,n = 35, =8900,置信水平为95%。为大样本总体非正态分布,但已知。35=(8733.9 9066.1)3)总体不服从正态分布,未知,n = 35, =8900,s =500,置信水平为90%。为大样本总体非正态分布,且未知,1-a90%,1.65。35=(8761 9039)4)总体不服从正态分布,未知,n = 35, =8900,s
7、=500,置信水平为99%。为大样本总体非正态分布,且未知,1-a99%,2.58。其置信区间为:2.5835=(8681.9 9118.1)7某大学为了解学生每天上网的时间,在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时)(略)。求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为90% 先求样本均值:= 3.32 再求样本标准差: 置信区间公式:8从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本,各样本值分别为:10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值的95%置信区间。本题为一个小样本正态分布,未知。先求样本均值:= 808=10
8、再求样本标准差:= 84/7 = 3.4641于是 , 的置信水平为 的置信区间是, 已知 ,n = 8,则 ,/2=0.025,查自由度为n-1 = 7的分布表得临界值 2.45所以,置信区间为:102.453.464179某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由16个人组成的一个随机样本,他们到单位的距离分别是:10,3,14,8,6,9,12,11,7,5,10,15,9,16,13,2。假设总体服从正态分布,求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。小样本正态分布,未知。已知,n = 16,则 , /2=0.025,查自由度为n-1 = 15的 分布表得临界值 2.
9、14样本均值=150/16=9.375= 253.75/15 4.11 9.3752.144.111610从一批零件是随机抽取36个,测得其平均长度是149.5,标准差是1.93。1)求确定该种零件平均长度的95%的置信区间。2)在上面估计中,你使用了统计中的哪一个重要定理?请解释。1) 这是一个大样本分布。已知N=36, = 149.5,S =1.93,1-=0.95,。149.51.93362)中心极限定理论证:如果总体变量存在有限的平均数和方差,那么,不论这个总体的分布如何,随着样本容量 的增加,样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中,一个随机变量服从正态分布未必很多,但是多个随机变
10、量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布,因此在样本容量 充分大的条件下,样本均值也趋近于正态分布,这为抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装,每袋标准重量为100克,现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查,测得每包重量如下:(略) 已知食品包重服从正态分布,要求:1)确定该种食品平均重量的95%的置信区间。2)如果规定食品重量低于100克属于不合格,确定该批食品合格率的95%的置信区间。1)本题为一个大样本正态分布,未知。已知N=50,=100,1-=0.95,。 每组组中值分别为97、99、101、1
11、03、105,即此50包样本平均值= (97+99+101+103+105)/5 = 101 样本标准差为:=(97-101)2(99-101)3(101-101)34(103-101)7(105-101)4(50-1) 1.666其置信区间为:1011.666502) 不合格包数(100克)为2+3=5包,5/50 = 10%(不合格率),即P = 90%。 该批食品合格率的95%置信区间为:= 0.9 (0.90.1)50= 0.9 0.04212假设总体服从正态分布,利用下面的数据构建总体均值的99%的置信区间。 样本均值样本标准差:尽管总体服从正态分布,但是样本n=25是小样本,且总体
12、标准差未知,应该用T统计量估计。1-=0.99,则=0.01, /2=0.005,查自由度为n-1 =24的 分布表得临界值 2.8的置信水平为 的置信区间是13一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间,为此随机抽取了18个员工,得到他们每周加班的时间数据如下(单位:小时):假定员工每周加班的时间服从正态分布,估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。 N = 18 30, 为小样本正态分布,未知。样本均值= 244/18 = 13.56= 1-= 90%, = 0.1,/2= 0.05,则查自由度为n-1 = 17的 分布表得临界值 1.74的置信水平为 的置信区间是14利用下面的样本数据构建总体比例丌的置信区间:1)n =44,p = 0.51 ,置信水平为99%2)n =300,p = 0.82 ,置信水平为95%3)n =1150,p = 0.48,置信水平为90% 1) 1-= 99%, = 0.01,/2= 0.005,1-/2= 0.995,查标准正态分布表,则2.58 2)1-a95%, 3)1-a90%,1.65分别代入15在一项家电市场调查中,随机抽取了200个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的电视机,其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间,置信水平分别为90%和95%。 1)置信水平90%,
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