青理工高数同济第七章教案Word文件下载.docx

1、 . 练习: P314 1 （3） 作业: P314 1 （2） 2 （2） 7.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程叫做一阶线性微分方程. 如果Q（x）0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ （1）是齐次线性方程 （2） 3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 （3） yy cos xesin x 是非齐次线性方程 （4） 不是线性方程 （5）或 不是线性方程 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程是变量可分离方程. 分离变量后得 , 两边积分, 得 , 或 , 这就是齐次线性

2、方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 , 两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC, 方程的通解为 yC（x2）. 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u（x）, 把设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得化简得 , 于是非齐次线性方程的通解为 或 . 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程的通解. 解法1 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程的通解. 分离变量得 , 两边积分得 ln y2ln （x1）ln C, 齐次线性方程的

3、通解为 yC（x1）2. 用常数变易法. 把C换成u, 即令yu（x1）2, 代入所给非齐次线性方程, 得两边积分, 得 . 再把上式代入yu（x1）2中, 即得所求方程的通解为 . 解法2 这里, .因为 , , ,所以通解为 例3 解方程. 解 若把所给方程变形为 , 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令xyu, 则原方程化为 , 即. 分离变量, 得 , 两端积分得 uln|u1|xln|C|. 以uxy代入上式, 得 yln|xy1|ln|C|, 或xCeyy1 练习: P320 1 （2） 2 （3） 7 （1） （2）作业： P

4、320 1 （1） （7） 2 （2）7. 5 可降阶的高阶微分方程 一、y（n）=f （x）型的微分方程 解法: 积分n 次 . 例1 求微分方程y=e2xcos x 的通解. 解 对所给方程接连积分三次, 得 这就是所给方程的通解.或 , 这就是所给方程的通解. 二、y= f（x, y）型的微分方程 解法: 设y=p则方程化为 p=f（x, p）. 设p=f（x, p）的通解为p=（x,C1）, 则 . 原方程的通解为 . 例2 求微分方程 （1x2）y=2xy 满足初始条件 y|x=0=1, y|x=0=3的特解. 解 所给方程是y=f（x, y）型的. 设y=p, 代入方程并分离变量后

5、, 有两边积分, 得 ln|p|=ln（1x2）C, 即 p=y=C1（1x2） （C1=eC）. 由条件y|x=0=3, 得C1=3, 所以 y=3（1x2）. 两边再积分, 得 y=x33xC2. 又由条件y|x=0=1, 得C2=1, 于是所求的特解为 y=x33x1. 例3 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 三、y=f（y, y）型的微分方程 解法 设y=p,有 . 原方程化为 . 设方程的通解为y=p=（y, C1）, 则原方程的通解为 例4 求微分yyy2=0的通解. 解 设y=p, 则, 代入方程, 得 . 在

6、y0、p0时, 约去p并分离变量, 得 . 两边积分得 ln|p|=ln|y|lnc, 即 p=Cy或y=Cy（C=c）. 再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为 ln|y|=Cxlnc1, 或 y=C1eCx （C1=c1）. 例5 求微分yyy2=0的通解. 解 设y=p, 则原方程化为 当y0、p0时, 有 于是 即 yC1y=0 从而原方程的通解为 例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）. 练习： 1（2）（5） 2（2） 1（4）（5）7. 6 高阶线性微分方程 一、线性微分方程 二阶线性微分方程: 二阶

7、线性微分方程的一般形式为 y+P（x）y+Q（x）y=f（x）, 若方程右端f（x）0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的. 二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 y+Q（x）y=0 即. 定理1 如果函数y1（x）与y2（x）是方程 y+Q（x）y=0. 的两个解, 那么 y=C1y1（x）+C2y2（x） 也是方程的解, 其中C1、C2是任意常数. 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理. 证明 C1y1+C2y2C1 y1C2 y2 C1y1+C2y2C1 y1C2 y2 因为y1与y2是方程y+Q（x）y=0, 所以有 y1+P（x）y1+Q（x）y1=0及y2

8、+P（x）y2+Q（x）y2=0, 从而 C1y1+C2y2+P（x） C1y1+C2y2+Q（x） C1y1+C2y2 =C1y1+Q（x）y1+C2y2+Q（x）y2=0+0=0. 这就证明了y=C1y1（x）+C2y2（x）也是方程y+Q（x）y=0的解 函数的线性相关与线性无关: 设y1（x）, y2（x）, , yn（x）为定义在区间I上的n个函数. 如果存在n个不全为零的常数k1, k2, , kn, 使得当xI 时有恒等式 k1y1（x）+k2y2（x）+ + knyn（x）成立, 那么称这n个函数在区间I上线性相关; 否则称为线性无关. 判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函

9、数, 它们线性相关与否, 只要看它们的比是否为常数, 如果比为常数, 那么它们就线性相关, 否则就线性无关. 例如, 1, cos2x , sin2x 在整个数轴上是线性相关的. 函数1, x, x2在任何区间（a, b）内是线性无关的. 定理2 如果如果函数y1（x）与y2（x）是方程 y+Q（x）y=0 的两个线性无关的解, 那么 y=C1y1（x）+C2y2（x） （C1、C2是任意常数） 是方程的通解. 例1 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y+y=0的线性无关解, 并写出其通解. 解 因为 y1+y1=-cos x+cos x=0, y2+y2=-sin x+sin x=

10、0, 所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解. 因为对于任意两个常数k1、k2, 要使 k1cos x+k2sin x0, 只有k1=k2=0, 所以cos x与sin x在（-, +）内是线性无关的. 因此y1=cos x与y2=sin x是方程y+y=0的线性无关解. 方程的通解为y=C1cos x+C2sin x. 例2 验证y1=x与y2=ex是方程（x-1）y-xy 解 因为 （x-1）y1-xy1+y1=0-x+x=0 （x-1）y2-xy2+y2=（x-1）ex-xex+ex=0 所以y1=x与y2=ex都是方程的解, 因为比值e x/x 不恒为常数, 所以y1=x与

11、y2=ex在（- 因此y1=x 与y2=ex是方程（x-1）y 方程的通解为y=C1x+C2e x. 推论 如果y1（x） y2（x） yn（x）是方程 y（n）+a1（x）y（n1）+ +an1（x）y+ an（x）y=0 的n个线性无关的解, 那么 此方程的通解为 y=C1y1（x）+C2y2（x）+ + Cnyn（x） 其中C1 C2 Cn为任意常数 二阶非齐次线性方程解的结构: 我们把方程 y+Q（x）y=0 叫做与非齐次方程+Q（x）y=f（x） 对应的齐次方程. 定理3 设y*（x）是二阶非齐次线性方程 y+Q（x）y=f（x） 的一个特解, Y（x）是对应的齐次方程的通解, 那么

12、 y=Y（x）+y*（x）是二阶非齐次线性微分方程的通解. 证明提示: Y（x）+y*（x）+P（x） Y（x）+y*（x）+Q（x） Y（x）+y*（x） = Y +P（x）Y +Q（x）Y + y* +P（x）y* +Q（x）y* =0+ f（x）= f（x）. 例如, Y=C1cos x+C2sin x 是齐次方程y+y=0的通解, y*=x2-2是y+y=x2的一个特解, 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y+y=x2的通解. 定理4 设非齐次线性微分方程 y+Q（x）y=f（x）的右端f（x）几个函数之和 如+Q（x）y=f1（x）+ f2（x）, 而y1*（x）与y2*（x）分别是方程 y+Q（x）y=f1（x）与y+Q（x）y=f2（x）的特解, 那么y1*（x）+y2*（x）就是原方程的特解. 证明提示: y1+y2*+P（x） y1*+y2*+Q（x） y1*+y2* = y1*+P（x） y1*+Q（