数学实验 5线性代数方程组的数值解法概要Word文档格式.docx

1、fj=d-1*b;x=x0,zeros（20,m-1）; %初始化x,其中x1=x0,即初始值for k=1:m %人为规定迭代次数，防止不收敛迭代导致死循环x（:,k+1）=bj*x（:,k）+fj; %jacobi迭代 if norm（x（:,k+1）-x（:,k）,inf）e %判断迭代后是否满足迭代中止条件： y=x（:,1:k+1）; %赋给y所有中间值和迭代结果 sizej=k ; %若去掉;号，则输出迭代次数 break %并结束迭代 end %若不成立，继续迭代end %以下部分为验证迭代公式收敛的方法，仅需运行一次即可，因为收敛性完全由A矩阵决定,而A%在本题是固定不变的；通

2、过判断中B的谱半径或范数大小（B在jacobi迭代法中%为矩阵bj），即可得知收敛性:e=eig（bj） %输出全部特征值，若，则收敛n1=norm（bj,1）; %计算1-范数n2=norm（bj）; %计算2-范数nn=norm（bj,inf）； %计算-范数q=min（n1 n2 nn） %由于谱半径不超过人以一种范数，所以只要范数的最小值q1,也可判断迭代法收敛2） Gauss迭代法：与Jacobi程序结构相同，不再注释function y=gauss（a,b,x0,e,m）bgs=（d-l）-1*u;fgs=（d-l）-1*b;m,k+1）=bgs*x（:,k）+fgs;ey=x（:

3、 sizeg=k; break endende=eig（bgs）n1=norm（bgs,1）;n2=norm（bgs）;nn=norm（bgs,inf）;min（n1 n2 nn） 3） 操作函数：%构造矩阵An=20;a1=sparse（1:n,1:n,3,n,n）; %按稀疏矩阵的输入法构造，比较方便a2=sparse（1:n-1,2:n,-0.5,n,n）;a3=sparse（1:n-2,3:n,-0.25,n,n）;a=a1+a2+a3+a2+a3;a=full（a）; %还原为满矩阵%通过给定不同的初始向量x0或者右端项b，以及规定不同的误差要求，进行jacobi和gauss%迭代，

4、得到的结果y1、y2位两种迭代的次数，同时输出迭代结果，便于分析b=x0=e=m=y1=jacobi（a,b,x0,e,m）;y2=gauss（a,b,x0,e,m）;4） 改变矩阵A：先对jacobi函数作一定修正，方便分析，命名为jacobi2,如下:function y=jacobi2（a,b,x0,e,m） %计算范数nn=norm（bj,inf）;q=min（n1 n2 nn）; y（1）=q; %输出结果1：范数的最小值，判断收敛速度的方法e y（2）=k; %输出结果2：迭代次数 break %改变A矩阵主对角元素的值，比较jacobi迭代的收敛速度，即迭代误差满足%时的迭代次数

5、b=（1:20） %取定bx0=20*ones（20,1）; %取定x0 e=10-5; %取定精度r=20; %设置主对角元素扩大的最大倍数 m=50;r; a1=k*sparse（1: %只需更改A的主对角元素 a=a1+a2+a3+a2 %重新构造A a=full（a）;y（k,1:3）=k,jacobi2（a,b,x0,e,m）;y %输出对角线扩大倍数最小范数迭代次数2、 运行结果分析1） 不同初值（x0）和右端项（b）条件下的解的情况表一：收敛性判断1-范数2-范数-范数Jacobi0.01630.0167Gauss0.00080.0084 可以看到，矩阵A无论是谱半径或是任意范数

6、的值都小于1，可知在A不变的情况下，Jacobi和Gauss法必然收敛。2） b取不同的值，x0=20*ones（20,1）, e=10-5, m=50 条件下的情况对比B=1:20B=10:10:200B=20:-1:1B=20*ones（20,1）B=2000*ones（20,1）2426233016171520 根据1）分析的结果，可以证明无论b取任何值，采用两种方法迭代均收敛，但b的值的变化会影响迭代的次数；且Gauss迭代法总是比Jacobi迭代法收敛速度更快。 下表列出的是B=1:20情况下部分结算结果，可以很明显的看到两种迭代法的收敛速度不同:K=1K=2K=3K=4K=5K=6

7、 K=22K=23K=24标准值X15.33332.75001.53941.08740.88580.79820.7247X29.00004.33332.66441.92481.60821.46521.3444X311.00005.80563.71992.78012.36262.17172.0072K=6K=14K=15K=162.05401.13540.85390.76570.73776.55562.94321.84591.50331.39491.36057.53703.73862.55532.18152.06272.0249由于精度问题，在迭代的最后几次中从显示的数位已经不能看出标准值与计算

8、值得差别，但是若采用long显示设定，就可以看到更多位小数的显示，其结果符合最初设定的精度e，数据繁琐，略。3） x0取不同的值，b=20*ones（20,1）, e=10-5, m=50 条件下的情况对比X0=1:X0=10:X0=20:X0=20*ones（20,1）X0=2000*ones（20,1）22273118 根据1）分析的结果，可以证明无论X0取任何值，采用两种方法迭代均收敛，但x0的值的变化会影响迭代的次数；下表列出的是x0=1:20情况下部分结算结果，可以很明显的看到两种迭代法的收敛速度不同:K=20K=217.25008.62509.22289.45369.55419.59749.63277.66679.958310.81411.18311.34111.41111.46838.166710.75711.81612.28212.48712.57912.6560K=138.93529.42679.57209.61509.62768.708310.65411.22811.39811.44811.4639.805611.81312.40812.58412.63612.650