1、x=,l2:x=7.焦半径:P(x,y)H,P在右支上,r1=|PF1|=ex+a,r2=|PF2|=exa;P在左支上,r1=|PF1|=(ex+a),r2=|PF2|=(exa)思考讨论 对于焦点在y轴上的双曲线=1(a0,b0),其性质如何?焦半径公式如何推导?点击双基1.(2004年春季北京)双曲线=1的渐近线方程是A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x解析:由双曲线方程可得焦点在x轴上,a=2,b=3.渐近线方程为y=x=x.答案:A2.过点(2,2)且与双曲线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是A.=1 B.=1C.=1 D.=1可设所求双曲线方程为y2=,把(2,2)点坐标
2、代入方程得=2.3.如果双曲线1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么P到它的右准线距离是A.10 B. C.2 D. 利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8=.D4.已知圆C过双曲线=1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_.由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,).易求它到中心的距离为. 5.求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_.利用双曲线的定义.=1(x0)典例剖析【例1】 根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线=1有共同的渐近
3、线,且过点(3,2);(2)与双曲线=1有公共焦点,且过点(3,2).剖析:设双曲线方程为=1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程.解法一:(1)设双曲线的方程为=1,由题意,得 =,=1, 解得a2=,b2=4.所以双曲线的方程为=1.(2)设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),=1.又a2+b2=(2)2,a2=12,b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二:(1)设所求双曲线方程为(0),将点(3,2)代入得,所以双曲线方程为.(2)设双曲线方程为1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为1.评述:求双曲
4、线的方程,关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系,并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程axby=0,可设双曲线方程为a2x2b2y2=(0).【例2】 (2002年全国,19)设点P到点M(1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.由|PM|PN|=2m,得|PM|PN|=2|m|.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值 范围.解:设点P的坐标为(x,y),依题意得=2,即y=2x(x0). 因此,点P(x,y)、M(1,0)、N(1
5、,0)三点不共线,得|PM|PN|0,0|m|0,15m20.解得0,即m的取值范围为(,0)(0,).本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.【例3】 如下图,在双曲线=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.(1)求y1+y3的值;(2)证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.可以验证F为焦点,利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列,进而有三点纵坐标成等差数列,由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点,不妨设想作
6、出A与C关于y轴的对称点A与C.由双曲线的对称性,易知A与C也在双曲线上,且A、B、C满足题设条件,所以AC的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.(1)解:c=5,故F为双曲线的焦点,设准线为l,离心率为e,由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. 分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2,交l于A1、B1、C1,则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|,|FA|=e|AA1|,|FC|=e|CC1|,代入式,得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|,即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.于是两边均加上准线与x轴距离的2倍,有2|BB2|=|AA
7、2|+|CC2|,此即26=y1+y3,可见y1+y3=12.AC的中垂线方程为y=(x),即y6=x+. 由于A、C均在双曲线上,所以有=1,=1.相减得=.于是有=(y1+y3)=12=13,故变为y=x+,易知此直线过定点D(0,).利用第二定义得焦半径,可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点,中点问题往往把A、C的坐标代入方程,两式相减、变形,即可解决问题.闯关训练夯实基础1.(2004年天津,4)设P是双曲线=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于A.1或5 B.6 C.7 D.9由渐近线方程y=x,且a
8、=2,b=3.据定义有|PF2|PF1|=4,|PF2|=7.C2.(2005年春季北京,5)“ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件由ab0,b0或a由此可知a与b符号相反,则方程表示双曲线,反之亦然.3.(2003年上海)给出问题:F1、F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由|PF1|PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17.该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确
9、,将正确结果填在下面横线上._.易知P与F1在y轴的同侧,|PF2|PF1|=2a,|PF2|=17.|PF2|=174.过点A(0,2)可以作_条直线与双曲线x21有且只有一个公共点.数形结合,两切线、两交线.45.已知双曲线的方程是16x29y2=144.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|PF2|=32,求F1PF2的大小.(1)由16x29y2=144得=1,a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=(2)|PF1|PF2|=6,cosF1PF2= = =0
10、.F1PF2=90.6.已知双曲线x2=1与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB中点.(1)求直线AB的方程;(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.设过P(1,2)点的直线AB方程为y2=k(x1),代入双曲线方程得(2k2)x2+(2k24k)x(k44k+6)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=,由已知=xp=1,=2.解得k=1.又k=1时,=160,从而直线AB方程为xy+1=0.按同样方法求得k=2,而当k=2时,0,所以这样的直线不存在.培养能力7.双曲线kx2y21,右焦点为F,斜率大于0的渐近线为l,l与右准线交于A
11、,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC的中点,求双曲线方程.由题意k0,c=,渐近线方程l为y=x,准线方程为x=,于是A(,),直线FA的方程为 y=,于是B(,).由B是AC中点,则xC=2xBxA,yC=2yByA.将xC、yC代入方程kx2y21,得k2c410kc2250.解得k(1+)5,则k4.所以双曲线方程为4x2y218.(理)已知l1、l2是过点P(,0)的两条互相垂直的直线,且l1、l2与双曲线 y2x21各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.(1)求l1的斜率k1的取值范围;(2)若A1B1A2B2,求l1、l2的方程.(1)显然l1、l2斜率都存在
12、,否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1,则l1的方程为yk1(x).联立得 yk1(x),y2x21,消去y得(k121)x22k12x2k1210. 根据题意得k1210, 10,即有12k1240. 完全类似地有10, 20,即有1240, 从而k1(,)(,)且k11.(2)由弦长公式得A1B1. 完全类似地有A2B2. A1B1A2B2,k1,k2.从而y(x),l2:y(x)或l1:y(x),l2:y(x)(文)在双曲线1上求一点M,使它到左右两焦点的距离之比为32,并求M点到两准线的距离设M(x1,y1),左右两焦点F1、F2,由双曲线第二定义得MF1ex1a,MF2ex1a,由已知2(ex1a)3(ex1a),把e=,a=4代入,得x116,y13.点M的坐标为(16,3).双曲线准线方程为x=
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