立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧Word下载.docx

1、射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直 .5.证明直线与平面垂直的思考途径： （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直6证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设 a=（印82月3）, b= （gpb），贝V cosa, b = / 2 驾 2比尸=2Ja +a2 +a3 Jb +b3|x）X2十y2 +乙乙2丨2 2 2 2 2X1 y1 Z1 . X2

2、 y2 Z2（其中二（0 ：90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线 a,b的方向向量）9.直线AB与平面所成角：-arcs in m（ m为平面的法向量）.|AB|m|10. 空间四点 A、B C、P共面OP = xOA yOB zOC，且 x + y + z = 111.二面角二一I - ：的平面角8.异面直线所成角： cost =|cos：a,b 十亞里一丿 |a|b| ?m为平面的法向量）.）-arc cos m n 或專-arc cos m n|m| n| |m| n|12.三余弦定理：设 AC是a内的任一条直线，且 BCL AC,垂足为C,又设AO与 AB所成的角为 齐

3、,AB与AC所（m , n为平面，：的法向量）.成的角为二2 , AO与AC所成的角为 则COST - COS可COSV2.13.空间两点间的距离公式 若A（x-!, y1,z1） , b（x2, y2, z2），则（y2“2 3犷14.异面直线间的距离：| n |d为I1,l2间的距离）.1 1 1 1T -415.点B到平面的距离：16.三个向量和的平方公式：（a b c）12 2 2（2h,l2是两异面直线，其公垂向量为 n , C、D分别是I1,I2上任一点,17.（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线， A -）.“2 2 彳2=a b c 2a b 2b c 2c a二a b

4、c 21 a | |b | cos .a,b ： 2 |b | |c| cosb,c； 21 c| |a |cos； c,a；长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 |2、l3，夹角分别为片、二2、二3 ,则有I2 =l： I； l； = cos2 片 cos2 叮 cos2 -3 =1 二 sin2 齐 sin J2 sin2 二3 = 2 .（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）s18. 面积射影定理 S .（平面多边形及其射影的面积分别是 S、S,它们所在平面所成锐二面角的 二）.cos廿19.球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线

5、长 .（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长 ，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 ，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 .（3）球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为 a,外接球的半径为 6a.12 420.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）二温馨提示：1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ 直线的倾斜角、到的角、.与的夹角的取值范围依次是 I - .-.三解题思路:1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:a丄b，a丄c，b，c 二 x，b

6、c = 0= a丄:面丄a，面：丄a= - / :a丄 0A = a丄 PO; a丄P0= a丄AO 二面角：二面角I - 的平面角二，01 ： X 80（三垂线定理法：A a作或证AB丄B于B ,作BO丄棱于 O,连AO，贝U AO丄棱I ,/ AOB为所 求。）三类角的求法：1找出或作出有关的角。2证明其符合定义，并指出所求作的角。3计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求

7、点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用 例1如图，正三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长都为2， D为CG中点（I）求证：AB丄平面ABD ；（n）求二面角 A - AD -B的大小；（川）求点C到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解答过程：解法一：（I）取BC中点O，连结AO .ABC为正三角形，.AO丄BC .正三棱柱ABC _ABG中，平面ABC丄平面BCCB ,.AO 丄平面 BCCiBi - 连结B1O，在正方形BBGC中

8、，O，D分别为BC, CCi 的中点，.BQ 丄 BD , . AB 丄 BD - 在正方形 ABBA中，ABi丄AB , . AB丄平面AiBD -（H）设ABi与A B交于点G ,在平面ABD中，作GF丄AD于F ,连结AF，由（I）得 ab丄平面A BD .AF丄AD， . / AFG为二面角A-AD-B的平面角.在厶AA D中，由等面积法可求得 AF二4& ,5又；AG =2 AB = 2，. sin / AFG 二空 _2 2 AF 4/5 45-所以二面角A -AD -B的大小为眦前帀4（川） A BD 中BD 二AD 二 5, AB =2.2,. S abd 二 6， bcd =

9、 i在正三棱柱中， a到平面BCG B的距离为,3 设点C到平面A BD的距离为d 点C到平面A BD的距离为2解法二：（I）取BC中点O，连结AO ABC为正三角形，.AO丄BC .AD 丄平面 BCCi Bi H r _ 取BQ中点Oi，以O为原点，OB ,OQ , OA的方向为X, y, Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B（ i ,0,0）-Bi （1 ,2,0）,D（-i，0），A（0,2, 3），A（0,0, 3）， AB =（i ,2, - 3），BD =（2,i0）， BA =（i,2j. 3） TAB _BD - -2 2 0=0， AB UBA 一 T 4 -3 =0，A

10、Bi丄平面A1BD .（H）设平面 a ad的法向量为n = （x, y, z）.Ad =（-1,1,- 3） , AA =（0,2,0） . 丄 AD , n 丄TA ,n|_AD =0, _x y - 3z =0, y =，J 2 nLAAt =0, 2y =0, x=_.3 z.令z=1得n=（,01）为平面AiAD的一个法向量.由（I）知AB丄平面ABD ,.AB为平面ABD的法向量., 22.2面角 A A D B的大小为arccoA6 （川）由（n） , ab为平面abd法向量,BCy,0,0）,AB =（ 1,2, _ .3）点c到平面abd的距离小结：本例中（川）采用了两种方法

11、求点到平面的距离解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的例2已知三棱锥S-ABC，底面是边长为 4.2的正三角形，棱 SC的长为2,且垂直于底面点到平面AMB i的距离转化为容易求的点 K到平面AMBi的距离的计算方法， 这是数学解题中常用的方法； 解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法 考点2 异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离BC、AB的中点，求CD与SE间的距离思路启迪：由于异面直线 CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与

12、平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离如图所示，取 BD的中点F,连结EF , SF , CF , E、D分别为EF 为二BCD 的中位线，.EF / CD, CD /面 SEF ,.CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离 .又:线面之间的距离可转化为线 CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，BC =4、. 2,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，_ 1 _.CD =2.6,EF CD 6, DF h；2SC =2.Vs_cef 工1 - EF DF SC =1 1 6 、2 2 =亘3 2 3 2 3在 Rt . SCE 中，SE 二 SC2 CE2 = 2.3在

13、 Rt SCF 中，SF 二 SC2 CF2 h；4 24 2 = 30又 EF 二 6 . Ssef =3由于 Vc _sef =Vs_cef = - S sef h，即 1 3 h = 2 3，解得 h = 23333 3故CD与SE间的距离为通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化如图，在棱长为2的正方体AC-中，G是AA-的中点，求BD到平面GB-D-的距离.把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解 解答过程：解析一 BD /平面GBQ,.BD上任意一点到平面 GB-D-的距离皆为所求，以下求点O平面GB, D,的距离， B-D-丄 A-C- , B-D-丄 A）AB- D-丄平面 A）ACC-,又 B-D- - 平面 GB-D-平面AACC- GB-D-，两个平面的交线是 O-G ,作OH _ O-G于H，则有OH 平面GB-D-，即OH是O点到平面GB- D-的距离. 在 O-OG 中，S O-OG =丄 OQ AO = 1 2 2 = 2 .2 2O1OGJ OH 02、3 OH OH2 2 3即BD到平面GB1D1的距离等于 红6解析二 BD /平面GB.D,.BD上