考研数学一真题及答案Word格式文档下载.docx

1、【答案】。设，取上侧，则 而【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算（4）点（2,1,0）到平面的距离 。点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程【考点】高等数学向量代数和空间解析几何点到平面和点到直线的距离（5）设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则_。因为，所以。【考点】线性代数行列式行列式的概念和基本性质线性代数矩阵矩阵的线性运算（6）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_。本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出【考点】概率论多维随机变量的分布二维随机变量的分布二、选择题（714

2、小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。（7） 设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A） （B）（C） （D）【答案】A。【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学一元函数微分学导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义（8） 设为连续函数，则等于【答案】C。如图所示，显然是型域，则原式综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学多元函数微积分学二重积分的概念、基本性质和计算（9） 若级数收敛，

3、则级数（A）收敛 （B）收敛（C）收敛 （D）收敛【答案】D。由收敛知收敛，所以级数收敛。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学无穷级数收敛级数的和的概念（10）设与均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。作拉格朗日函数并记对应的参数的值为则即消去得整理得：,若则综上所述，本题正确答案是D【考点】高等数学多元函数微积分学二元函数的极限（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关（B）若线性相关，则线性无关（C）若线性无关，则线性相

4、关（D）若线性无关，则线性无关因为线性相关，故存在不全为零的数使得从而有即由于不全为0而是上式成立，说明线性相关。利用秩来求解，利用分块矩阵有那么因为线性相关，有从而故线性相关。综上所述，本题正确答案是A【考点】线性代数向量向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩（12）设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则【答案】B。按已知条件，用初等矩阵描述有所以。综上所述，本题正确答案是B【考点】线性代数矩阵矩阵的线性运算（13）设为随机事件，且,则必有由，得到，又已知综上所述，本题正确答案是C。【考点】概率论与数理统计随机事件和概率条件概率，概率的基本公式（14）设随

5、机变量服从正态分布服从正态分布且则必有由于与的分布不同，不能直接判断和的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。随机变量且其概率密度函数为偶函数，故同理。因为是单调增函数，当时，即所以即。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布正态分布及应用三、解答题（1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）设区域，计算二重积分.本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。积分区域如图所示，因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数，则故。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的

6、概念、性质、计算和应用（16）（本题满分12分）设数列满足.（）证明存在，并求该极限；（）计算.本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。（I）用归纳法证明单调减且有下界：由于则由知，设则所以单调减且有下界，故极限存在。记由知所以，即。（II）由于所以，考虑函数极限又则故 【考点】高等数学函数、极限、连续极限的四则运算、单调有界准则（17）（本题满分12分）将函数展成的幂级数则即 故【考点】高等数学无穷级数初等函数的幂级数展开式（18）（本题满分12分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式（）验证；（）若，求函数的表达式。【解析】本题主

7、要考查复合函数偏导数的求解。（I）设则,将代入得 。（II）令则两边积分得：即即由可得 所以有 两边积分得由可得 故。【考点】高等数学多元函数微积分学多元函数的偏导数（19）（本题满分12分）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有两边对求导得令，则设，则即，所以对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有【考点】高等数学多元函数积分学平面曲线积分与路径无关的条件（20）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解。（）证明方程组系数矩阵的秩；（）求的值及方程组的通解。本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。（I）设是非齐次

8、线性方程组的三个线性无关的解，那么是线性无关的解，所以即,显然矩阵中有阶子式不为又有从而秩（II）对增广矩阵作初等行变换，有由题设和第一问知，故有解出此时那么是的解，且是的基础解系，所以方程组的通解是。【考点】线性代数线性方程组非齐次线性方程组的通解 线性代数矩阵矩阵的秩（21）（本题满分9分）设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解。（）求的特征值与特征向量；（）求正交矩阵和对角矩阵，使得;【解析】本题中未知，故用定义法求解。（I）因为矩阵的各行元素之和均为即有所以是矩阵的特征值，是属于的特征向量。又故是矩阵属于的两个线性无关的特征向量。因此矩阵的特征值是.的特征向量为

9、其中为常数；的特征向量为其中是不全为0的常数。（II）因为不正交，故需要正交化，单位化那么令得 【考点】线性代数矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算（22）（本题满分9分）设随机变量的概率密度为令为二维随机变量的分布函数，求：（I）的概率密度（II）.（I）设的分布函数为则;故的概率密度为（II）【考点】概率论与数理统计多维随机变量的分布二维连续型随机变量的概率密度、分布函数概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望（均值）、协方差（23）（本题满分9分）设总体的概率密度为其中是未知参数为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于的个数，求的最大似然估计似然函数为取对数,得两边对求导，得令，得显然最大，所以的最大似然估计为。【考点】概率论与数理统计参数估计最大似然估计法