勾股定理地论文设计1Word文档格式.docx

1、3.3 毕达哥拉斯面积剖分法7 欧几里得逻辑推理法83.5 婆什迦罗相似三角形法93.6 加菲尔德梯形面积法 104 应用 10 中华牌345三角形 114.2 趣味古诗词 124.3 蚂蚁怎么走最近 14结论 15参考文献 16致 171 引言勾股定理在中国称为“商高定理，在外国又称为“毕达哥拉斯定理。 周髀算经载商高约前十一世纪答周公曰：“勾广三，股俢四，径隅五。相传大禹治水是左手拿着准绳，右手拿着规矩。准绳、规矩都是测望山川上下远近的工具。人们对勾股定理的认识也很早，不过勾股知识的大开展是在西汉，而三国爽，徽方建立起了理论根底。公元前六世纪，古希腊著名哲学家毕达哥拉斯在研究了许多直角三角

2、形后，也意识到了这一定理。2 容勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理。勾股定理在九章中的表述是“勾股数曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。即c=，又有a=、b=两种形式。3勾股定理的证明勾股定理的证明表达着不同的文化涵，假如将不同的证明思想相融合，可使古老的方法迸发出新的火花。数学史上关于勾股定理的最早证明记载于欧几里得几何原本，在中国古代数学中如此是以算法形式呈现的。3.1 爽弦图法；三国时期东吴数学家爽，在给周髀算经作注释的时候突发灵感证明了勾股定理。现在的数学课本中对勾股

3、定理的证明就是它的简化。 如图，连接HB,HD CD 证明： S+ S= c从而 a+ b= c a+ b= c爽的证明直观性强，简洁明了，直到1150年国外相类似的证明才由印度数学家巴斯卡拉给出。3.2 徽面积割补法；在九章算术中，徽用出入相补法论证了勾股容方，勾股容圆。证明：“以勾股和b+a为边长作正方形，称为大方，面积a+b；在其部作一中方，其顶点在大方每边a,b的分点上，其边长自然为c，面积为c；在中方部作四个以a,b,c为边长的勾股形，每个面积为ab，称为朱幂。中方除去四个勾股形，余一个以b-a为边长的正方形，称为黄方，面积为b-a， 大方有八个朱幂，一个黄幂，中方有四个朱幂，一个黄

4、幂，因此，中方减去半个黄幂等于半个大方 即b+a=c-b-a 化简得a+ b= c近代数学家们比拟爽和徽的证明方法，发现二人有许多相似之处，由此推断出他们两个人有着直接的学术渊源，此后我国学者对勾股定理的证明不下二百种，但都受他们的影响。3.3毕达哥拉斯面积剖分法；据说最早证明勾股定理的人是毕达哥拉斯，可惜原稿已失传。据说以下证明方法是他的方法。做八个全等的直角三角形边长分别为a,b,c，再做三个边长为a,b,c的正方形，拼成如图的两个正方形。易得两个正方形面积相等，边长都为a+b， 即a+b+4*ab=c+4*ab 整理得 a+ b= c3.4 欧几里得逻辑推理法；古希腊数学家欧几里得给出了

5、勾股定理的一个极其巧妙的证明方法在他的著作几何原本中。这个图形有人称为新娘的轿椅，也有人称之为修士的头巾。做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如下列图形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CLDE， 交AB于点M，交DE于点 L.HGAF=AC，ABAD， FABGAD， FABGAD，FAB的面积等于a,GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形ADLM的面积= a同理可证，矩形MLEB的面积=b. 正方形ADEB的面积 =+矩形MLEB的面积 c=a+ b即a+ b= c婆什迦逻相似三角形法；古印度数学家婆什迦罗给出了勾股定理的另一证法。如图，在Rt

6、ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D. B在ADC和ACB中，ADCACB90， CADBAC， ADCACB. ADACACAB， 即. AC=AD*AB同理，CDBACB，从而有BC=BD*AB. 即a+ b= c.加菲尔德梯形面积法； 1876年 加菲尔德 在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统证法，这在数学史上被传为佳话。如图 S=a+b（a-b） =2*ab+c化简得 a+ b= c下面就

7、结合实例来讲解勾股定理的应用4应用利用勾股定理解题的一般步骤是：第一步，根据条件的特征，构造直角三角形是运用勾股定理解决问题的关键;第二步，把条件放入所构造的直角三角形中;第三步，运用勾股定理，对所求的问题作出分析解答41中华牌345三角形勾股数例 1徒手在正方形纸片上作出24个345三角形只有一正方形纸片，没有任何标志，如何才能徒手的在这正方形上显现出24个345三角形呢？解 1. 先延边长对折正方形纸片可得到四边的中点E,M,P,Q 2.再延DE,DP,BQ,BM,AQ,AE,CM,CP折叠可以得到如下列图的各条线段与三角形 设正方形边长为2，如此它的面积为4，CEQ的面积为0.5，ABE

8、与ADQ面积和为2，于是AEQ的面积为 4-2-0.5=1.5=0.5*AQ*EF=*EF于是EF=， 由勾股定理得AF=，所以AEF是345三角形 又易得证GHFGMNAEF,且 与GHF全等的三角形有八个，与GMN全等的三角形有八个，与AEF全等的三角形有八个，所以得到24个345三角形。常言道，工欲善其事，必先利其器；事实上，人手乃是时间最灵巧的工具，而最聪明者莫过于头脑，电脑永远不与人脑。上面此题就并未用任何工具单靠人手和人脑造出了24个345三角形。42 趣味古诗词例2蒲生池中源自九章算术 蒲生池中西江月 今有方池一所，每边丈二无疑。 中心蒲长一根肥，出水过于二尺。 斜引蒲稍至岸，释

9、然与岸方齐。 饶公能算更能推，蒲，深各该有几？译文 现在有方形水池一个，每边边长1.2丈，中心长出一根香蒲，露出水面两尺，斜着引香蒲到岸边，刚好到岸边。尽管先生能够推算，请问蒲长，池水深多少？解：由题意作图设AC=x尺，由勾股定理，得X+6=x+2X=8 答：池水深8尺，蒲长10尺。例3折竹抵地源自九章算术折竹抵地西江月 今有竹高一丈，园中出众高强。 只因有病被虫伤，节节相连不长。 风折枯梢在地，离根三尺曾量。枯梢折竹数明彰，激恼先生一晌。译文：一根竹子，高度是一丈，现在被虫蛀了，每个竹节都相连不长，一阵风吹过，枯梢折断了，现在竹梢离根有三尺，问你现在竹高多少？恼怒的先生算了一晌。 设 AC=

10、X尺，如此BC=10-X尺，由勾股定理，得+3=10-X勾股定理在中国古代数学中占有重要地位，从古代经典之作九章算术可以看出，起源于实际需要，它以社会生活与生产实际为研究对象，以解决实际需要为目标。43 蚂蚁怎么走最近例4 如图，一个密封的长方体盒子ABCD-EFGH,长宽高分别为27cm,9cm,15cm.E处有食物。甲蚂蚁从C处出发沿长方体外表爬行。同时乙蚂蚁从B处沿B-A-E的方向爬行，问两只蚂蚁哪知能够先吃到食物？假设他们爬行的速度是一样的 解：由题意可知，甲蚂蚁并没有确定路线方向所以说可以有选择余地 但是乙蚂蚁已经确定了路线。 故甲蚂蚁可以寻求寻求到最短路线 甲蚂蚁： 将底面ABCD绕AB旋转，转到ABFE所在平面同一平面上，连接CE,如此甲蚂蚁沿CE爬行路线最短。 AE=15cm,AB=27cm,BC=9cm,EDC=90ED=24cm, 由勾股定理得，CE=3cm 乙蚂蚁： AB+AE=27+15=42cm甲蚂蚁能够先吃到食物。数学本身就是一种文化，一门博大精深的学问，学习他的最好方法是自己去发现她的美.结论通过本文我们看到勾股定理在解题方法中的作用,但是它的重要作用并不仅限于此运用勾股定理解题的一般方法:关键在于制造直角三角形,从待求的结