第三章正规子群和群的同态与同构PPT文件格式下载.ppt

1、 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University第三章第三章 正规子群和群的同态与同构正规子群和群的同态与同构第一节第一节 群同态与同构的简单性质群同态与同构的简单性质第二节第二节 正规子群和商群正规子群和商群第三节第三节 群同态基本定理群同态基本定理第四节第四节 群的同构定理群的同构定理第五节第五节 群的自同构群群的自同构群第六节第六节 共轭关系与正规化子共轭关系与正规化子 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University第一节第一节 群同态与同构的群同态与同构的 简单性质简单性质 群同态的简单性质群同态的简单性质 群同构的简

2、单性质群同构的简单性质 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University设是两个群是两个群.如果存在映射如果存在映射满足足则称称的一个同的一个同态映射映射.到群到群为群群复习回顾复习回顾:#山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University当当又是满射时又是满射时,则称群称群与与同态同态,记为记为当当是一个双射时是一个双射时,称称到到的一个同构映射的一个同构映射.如果群如果群记为记为为群为群到到存在同构存在同构映射映射,就称群就称群与与同构同构,复习回顾复习回顾:#山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan Univ

3、ersity注注:#对于同构的群于同构的群与与,我我们认为 与与研究的研究的问题来来说,除了符号与名称上的区除了符号与名称上的区别是代数相同的是代数相同的,因因为这是是对于近世代数所于近世代数所之外之外,二者没有二者没有实质的差异的差异.复习回顾复习回顾:#山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University定理定理1 1 设 是一个群是一个群,则也是一个群也是一个群.是一个有代数是一个有代数运算运算（也称为乘法也称为乘法）的集合的集合.如果如果证证 因为因为是群是群,其乘法满足结合律其乘法满足结合律,的乘法也满足结合律的乘法也满足结合律.故故 山东省成人高等教育品

4、牌专业网络课程 抽象代数Taishan University设设 是群是群的单位元的单位元,是是的任一元素的任一元素,又设又设是是到到的满同态的满同态,且在且在 之下之下于是于是即即是是的单位元的单位元.又设又设则则即即因此因此也是一个群也是一个群.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University注注1）1）如果集合如果集合与与各有一个代数运算各有一个代数运算,则当则当为群时为群时,却不一定是群却不一定是群.且且2）2）上述定理中的同态映射必须是满射上述定理中的同态映射必须是满射.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University例

5、例1 1 令令,代数运算为数代数运算为数又又关于数的普通乘法关于数的普通乘法则易知则易知的一个同态满射的一个同态满射,故故是群是群,但但却不是群却不是群.到到的普通乘法的普通乘法;#作成群作成群,令令是是.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University例例2 2 设设是正有理数乘群是正有理数乘群,是全体正是全体正偶数对偶数对作成的半群作成的半群.则显然则显然是是的一个同态映射的一个同态映射（但不是满射但不是满射）.）.到到是群是群,但但并不是群并不是群.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University推推论 设 是群是群到群到群

6、的一个同的一个同态映射映射的的单位元的象是群位元的象是群的的单位元位元;#的元素的元素的逆元的象是的逆元的象是（不一定是满射不一定是满射）.）.则群则群的象的的象的逆元逆元,即即或或.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University证 设之下之下由于由于 是同是同态映射映射,故在故在 之下有之下有 的的单位元位元,且在且在是群是群但但是群是群,故由故由可知，可知，是是的的单位元位元.至于至于可由定理可由定理1 1直接得到直接得到.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University定理定理2 2 设1 1）当）当时,有有,且且2 2）

7、当）当时,有有,且在且在之下之下到到的一个同的一个同态映射映射.是群是群到群到群的一个同的一个同态映射映射（不一定是满射不一定是满射）,则则;#诱导出诱导出 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University证 1）1）任取任取,且在且在 之下令之下令 其中其中,由于由于,故故,且且,从而从而,即即对的乘法封的乘法封闭,且且但但.是子群是子群,从而从而也是群且是也是群且是 的子群的子群.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University2）2）当当时,由于由于显然非空然非空,任取任取,且在且在之下令之下令.则其中其中,而而,故故从而从

8、而.即即,且且显然然诱导出出到到的一个同的一个同态映射映射.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University定理定理3 3 群群到群到群的同的同态映射映射的充分与必要条件是的充分与必要条件是,群群的的单位元位元只有只有.是单射是单射的逆象的逆象 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University证证 只需证充分性只需证充分性.设 是群是群 到群到群的任一同的任一同态映射映射,且在且在之下之下的逆象只有的逆象只有.又又设在在 之下之下 当当时,必必:#因若因若,则由于由于 故故,矛盾矛盾.因此因此,是是单射射.山东省成人高等教育品牌专

9、业网络课程 抽象代数Taishan University例例3 3 设6 6阶群群不是循不是循环群群.证明明:#.分析分析:#由于由于不是循不是循环群群,故故中必含中必含2 2阶元或阶元或3 3阶元阶元.但是但是能都是能都是2,2,也不能都是也不能都是3,3,否则与否则与LagrangeLagrange中非单位元的阶不中非单位元的阶不定理矛盾定理矛盾.故故 中必有中必有2 2阶元阶元和和3 3阶元阶元从而从而.,可构造同构可构造同构.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University第二节第二节 正规子群和商群正规子群和商群 正规子群定义和简单性质正规子群定义和简

10、单性质 商群及商群的一个应用商群及商群的一个应用 与正规子群密切相关的哈密顿群与正规子群密切相关的哈密顿群 和单群和单群 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University一一 正规子群定义和简单性质正规子群定义和简单性质定定义1 设,如果如果对于于中任一个中任一个为的一个正的一个正规子群子群（或不或不变子群子群）.,即即,则称则称元素元素简记为简记为.,都有都有 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University,且且,则记为如果如果是正是正规子群子群,那么那么的左的左（右右）陪集陪集的陪集的陪集.的平凡子群的平凡子群和和子群子群,

11、即即 如果如果 是一个交是一个交换群群,那么那么的任一个的任一个都是正都是正规子群子群.可简称为可简称为注：#注：#群群 都是正规都是正规,.子群子群若若 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University例例1 1 设为群群,而而叫做叫做 的中心的中心.不不仅（习题课已已证）而且有而且有.例例2 2 设,其中其中易知易知.但是但是的三个子群的三个子群都不是都不是的正规子群的正规子群.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University定理定理1 1 设是群是群,.则.注注:#定理定理1 1也可改述也可改述为:#设是群是群,.则.山东省

12、成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University证 设,则对 中任意元素中任意元素有有当然有当然有反之反之,设对设对则有则有,即即;#又由又由可得可得.因此因此,即即中任意元素中任意元素有有 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University例例3 3 次交代群次交代群是是次次对称群称群的一个正的一个正规子群子群.是是一个正一个正规子群子群,因而也是交代群因而也是交代群例例4 4 证明证明:#Klein四元群四元群的的的一个的一个正规子群正规子群.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University 注注:#正

13、正规子群的正子群的正规子群不一定是原群的子群不一定是原群的正正规子群子群,即正即正规子群不具子群不具备传递性性.不是不是是交换群是交换群,故故的正规子群的正规子群.因为因为显然显然从而有从而有,但是但是.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University 定理定理2 2 设是群是群到群到群的一个同的一个同态之下之下的正的正规子群的象是子群的象是一个正一个正规子群子群,的正的正规子群的逆象是子群的逆象是一个正一个正规子群子群.满射满射,则在则在的的的的 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University证 1）1）设.则由上由上节定理定

14、理2 2知，知，再任取再任取,则由于由于 是同是同态满射射,可可令令其中其中,于是于是 但是但是,故故 ,从而从而 .2）2）若若,则可可类似似证明明.山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University定理定理3 3 群群一个正一个正规子群子群.的一个正规子群与一个子群的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群的乘积是一个子群;#两个正规子群的乘积仍是两个正规子群的乘积仍是 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University证证 1）1）设设,任取任取由于由于,故故从而从而同理可得同理可得因此因此,从而从而2）2）设设.则由上知则由上知

15、,.又对任意又对任意,有有故故 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University二二 商群及商群的一个应用商群及商群的一个应用 设是群是群的一个正的一个正规子群子群,与与,有有 即即.我我们称此称此为陪集的乘法陪集的乘法.则任取则任取二陪集二陪集 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University 定理定理4 4 群群的正的正规子群子群对于陪集的乘法作成一个群于陪集的乘法作成一个群,称称为关于关于的商群的商群,记为.的全体陪集的全体陪集 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University由定理可知由定理

16、可知,对任意整数任意整数和群和群中任意中任意元素元素中任意中任意,都有都有另外另外,由于商群由于商群中的元素就是中的元素就是在在中的陪集中的陪集,因此因此定理定理,对有限群对有限群 有有从而有从而有又根据又根据Lagrange 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University定理定理5 5 设 是一个是一个阶有限交有限交换群群,其中其中是一个素数是一个素数,则有有 阶元素元素,从而有从而有 阶子群子群.提示:#对n用数学归纳法可证.推推论 循循环群群.（为互异素数为互异素数）阶交换群必为阶交换群必为 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University三三 哈密顿群和单群哈密顿群和单群定定义2 2 设是一个非交是一个非交换群群.如果如果的每个子群都是的正的每个子群都是的正规子群子群,则称称哈密哈密顿群群.是一个是一个 山东省成人高等教育品牌专业网络课程 抽象代数Taishan University例例4 4 四元数群四元数群是非交是非交换群群显然然.其次其次,证证 首先首先是一个哈密是一个哈密顿群群.真子群只有真子群只有的的显然然是正是正规子群子群.令令则从而从而