323 直线与平面的夹角Word文档格式.docx

1、（1）二面角大小的求法（2）斜线与平面所成的角的求解；公式的灵活运用四. 知识分析3.2.3直线与平面的夹角1、提出问题：（1）直线与平面的位置关系有哪些？（l，或l/，或l（l）（2）当直线与平面斜交时，“倾斜程度”该如何衡量？（此时，对线面角的提出有了强烈的要求）（3）线面角的大小怎样度量？方案：转化为合适的线线角【探究】已知平面及它的一条斜线l，斜足为O，则过O在平面内的直线m与l所夹的角是否不变？先观察：肯定变化再论证：在l上取一点P，作PQ于Q，过Q作QMm于M，连接PM，易知PMm如图记l与m所成的角（即POM）为，记l与它在平面上的射影OQ所成的角为，QOM在OM上取单位向量，则

2、这说明，由于为定角，所以随而变化：当0时，取得最大值，从而取最小值；当90时，取得最小值，从而取最大值90；【结论】斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角2、定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）注：（1）数学思想转化：线面角面面角（2）关键：找射影【练习】（1）在棱长都为1的正三棱锥SABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是_（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与平面AB1所成的角的大小是_；BD1与平面AB1所成的角的大小是_；CC1与平面BC1D所成的角的大小是_；BC1与平面A1BCD1所成的角的大

3、小是_；BD1与平面BC1D所成的角的大小是_；（3）已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60，试求OA与平面BOC所成的角的大小3.2.4二面角及其度量1、二面角的概念及记法定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；叫做二面角说明：对二面角概念的理解，可类比与平面几何中角的定义射线半平面，顶点棱2、二面角的平面角在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量我们约定，二面角的范围0，180【探讨】尝试用向量求二面角的大小如图所示，分别在二面角的面、内，并且沿，延伸的方向，作向量n1

4、l，n2l，则我们可以用向量n1与n2的夹角来度量这个二面角 如图，设m1，m2，则角<m1，m2>与该二面角相等或互补3、求二面角平面角的方法（1）定义法实例：过空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC，两两夹角60，试求二面角BOAC的大小分析：如图，在射线OA上取点P，使OP1，过P作PMOA，交OB于M，作PNOA，交OC于N，连接MN则显然MPN为所求二面角的一个平面角利用已知条件可以迅速求出OMONMN2，PMPN利用余弦定理，就可以求出MPN的大小为（2）三垂线定理如图，已知直角RtABC，ACB90，PB平面ABC，试求二面角BPAC的大小由已知，得：平面PAB平面

5、ABC，为了找此二面角的一个平面角，我们可先过C作CMAB，这样CM平面PAB，然后，过M作MNPA于N，连接CN根据三垂线定理，得：CNPA，于是MNC就是所求二面角的一个平面角（想一想，还可以怎么做？）3.2.5距离【求距离的注意事项】（1）求空间各种距离时，要紧紧抓住线线、点面、线面、面面之间距离的转化，其中，最基本、最重要的是点面距（2）求距离和求角一样，都要按照一作二证三计算的步骤进行，不可忽视第二步的证明（3）求距离时，要注意四点：合理选点：当线面平行时，选端点中点、交点当用体积法求点面距时，选高线长容易确定的顶点点点距离等于向量的模长，建立空间直角坐标系，探求向量坐标，继而求出模

6、长、思路更加清晰，学生更易掌握异面直线的距离注意考纲要求，不要扩张注意立体几何与代数内容的结合点，如几何背景下的函数最值问题，几何问题代数化的向量方法等等【典型例题】例1. 正方体ABCDA1B1C1D1中，如图所示，E，F分别是棱AA1、AB的中点，求EF和平面ACC1A1所成角的大小 解析：解法1：过F作FGAC于点G，连结EG， 平面平面ABCD且交线为AC FG平面， EG为EF在平面内的射影， GEF即为EF与平面所成的角 设正方体棱长为1，则 又RtAGF中，GAF RtEGF中， GEF 解法2：E、F分别是、AB的中点 所求即为与平面所成角 设AC和中点为，则 由平面平面ABC

7、D得 即为所求 设正方体棱长为1， Rt中， 解法3：建立如图所示的直角坐标系， 设正方体棱长为2，则E（2，0，1），F（2，1，0） 作FGAC于G，由解法1知，GEF即为所求 RtAGF中，GAF G（，0），（，1），（0，1，1） EF与平面所成角为点评：此题考查直线和平面所成角，其中，利用定义找射影是基本方法，确定斜线在平面内射影的一般步骤：先找直线上不同斜足的一点（通常是已知的相关点）在平面内的射影，再将其与斜足连结，即得例2.（2004，江苏卷）在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC14CP（1）求直线AP与平面

8、BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；（3）求点P到平面ABD1的距离（1）AB平面， AP与平面所成的角就是APB 如图建立空间直角坐标系，坐标原点为D ， 直线AP与平面所成的角为 （2）连结，由（1）（0，0，4），O（2，2，4） （2，2，0）， 平面的斜线在这个平面内的射影是， （3）连结，在平面中，过点P作PQBC1于点Q AB平面， PQAB PQ平面 PQ就是点P到平面的距离 在Rt中，C1QP90， PC1Q45，PC13， 即点P到平面ABD1的距离为例3. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD

9、中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，求面SCD与面SAB所成角的二面角的正切值以A为原点，AD，AB，AS分别为x，y，z轴建立直角坐标系，依题意有 S（0，0，1），C（1，1，0），D（，0，0）， 设（x，y，z）是面SCD的一法向量， 则 解得n（2，1，1）， 因为（，0，0）是面SAB的一法向量， 所以，例4. 如图，底面等腰直角三角形的直三棱柱，C，D为上的点，且，求二面角的大小因为C，所以ACBC，又直三棱柱，于是以C为原点，建立如图的空间直角坐标系，设，则A（0，3，0），B1（3，0，3），D（0，0，2）， 所以（0，3，2），（3，3，3） 设平面的法向量为

10、（1，）， 则 即 所以 所以（1，2，3） 而平面的法向量即为（0，3，0）， 所以 所求二面角大小为【模拟试题】1. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 正四面体ABCD，E、F分别为AC、AD中点，则BEF在面ADC上的射影是（ ） 3. 平行六面体中，六个面都是菱形，则在平面上的射影是的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 4. 一直线与两个互相垂直的平面所成的角分别为、，则（ ） A. B. C. D. 5. 一直线l，与平面斜交成角，那么直线l与平面内所有直线所成的角中，最小角和最大角分别是（ ） A. 0， B. ， C.

11、不能确定 D. 以上都不对 6. 已知在ABC中，AB9，AC15，BAC，平面ABC外一点P到三个顶点的距离都是14，那么点P到面ABC的距离为（ ） A. 49 B. C. D. 7 7. 线段AB夹在直二面角内，AB与、所成的角分别为、，那么为（ ） 8. 平面内的MON60，PO是平面的斜线段，PO3，且PO与MON的两边都成45的角，则点P到的距离为（ ） 9. E是正方形ABCD的边AB的中点，将ADE和BCE沿DE、CE向上折起，使A、B重合于点P，则二面角DPEC的大小为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 大于90 10. 在棱长为1的正方形中，平面与平面的距离为

12、（ ） 11. 在三棱锥PABC中，若PAPBPC，则点P在面ABC内的射影是ABC的_ 12. 长方体中，AB2a，则对角线与平面ABCD所成角的余弦值为_ 13. ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2cm，3cm，4cm，且它们在的同侧，则ABC的重心到平面的距离为_ 14. 已知RtABC的直角顶点C在平面内，斜边AB/，AB，AC、BC分别和平面成45和30角，则AB到平面的距离为_ 15. 在正四边体ABCD中，E、F分别为AD、BC中点 （1）求AF与CE所成角的余弦值 （2）求CE与面BCD所成的角 16. 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，求直线与侧面所成的角 17. 已知正方体的棱长为a，M为中点，O为的中点 （1）求证：MO为与的公垂线段，并求OM长； （2）求证：与面所成的角 （3）求证： （4）求证：平面/平面，并求这两个平面的距离 18. 如图：多面体由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，AB4，BC1，BE3，CF4，建立如图坐标系 （1）求与点G的坐标； （2）求异面