1、如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.2基底不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底3正交分解一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a1e12e2的形式,我们称它为向量的分解当e1、e2互相垂直时,就称为向量的正交分解1定理中,要求作为基底的两个向量e1,e2不共线,即作为基底的向量一定是非零向量因此,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底2平面向量基本定理中,实数1,2的唯一性是相对于基底e1,e2而言的一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一的 例1若向量a,b不共线,且c2
2、ab,d3a2b,试判断c,d能否作为基底思路点拨要判断c,d能否作为基底,只需看c,d是否共线,若共线,则不能作为基底;否则可以作为基底精解详析设存在实数使得cd,则2ab(3a2b),即(23)a(21)b0.由于a,b不共线,从而23210,这样的是不存在的,从而c,d不共线,故c,d能作为基底一点通基底具备两个主要特征:(1)基底是两个不共线向量;(2)基底的选择是不唯一的1e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量中,不能作为一组基底的序号是_e1e2,e1e23e12e2,4e26e1e12e2,e22e1e2,e1e22e1e2,e1e2解析:由题意,知e1,e2不
3、共线,易知中,4e26e12(3e12e2),即3e12e2与4e26e1共线,不能作基底中,2e1e22,2e1e2与e1e2共线不能作基底答案:2如果e1,e2是平面内所有向量的一组基底,是实数,则下列说法正确的有_若,满足e1e20,则0;对于平面内任意一个向量a,使得ae1e2成立的实数,有无数对;线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量;当,取不同的值时,向量e1e2可能表示同一向量正确若0,则e1e2,从而向量e1,e2共线,这与e1,e2不共线相矛盾,同理可说明0.不正确由平面向量基本定理可知,唯一确定正确平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式,反之也成立;不正确,结合向量加法
4、的平行四边形法则易知,只有当e1和e2确定后,其和向量e1e2才唯一确定例2如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知c,d,试用c,d表示和.思路点拨本题要求用c,d表示和,所以可以将c,d看做基底,也就变成了用基底表示和两个向量精解详析设a,b,则由M、N分别为DC、BC的中点,得BNb,a.在ABN和ADM中,解得即dc,cd.一点通(1)若题目中已给出了基底,求解此类问题时,常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则,结合数乘运算找到所求向量与基底的关系(2)若题目中没有给出基底,常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底,而后再寻找所求向量与基底的
5、关系3已知ABCDEF是正六边形,且a,b,则_.ba,又2,(ab) (ab)4.如图所示,ABC中,若D、E、F依次是AB的四等分点,则以e1,e2为基底时,_.e1,e2,e1e2.,(e1e2)e2(e1e2)e1e2. e1e25.如图所示,在OAB中,a,b,M,N分别是边OA,OB上的点,且a,b,设与交于点P,用向量a,b表示.解:,设m,n,则mm()(1m)m(1m)ambnn()(1n)n(1n)bn a.a与b不共线,ab.例3如图,ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点,若x,y,试问:是否为定值?思路点拨(1)选取
6、基向量a,b;(2)利用平面向量基本定理表示、;(3)利用、共线可得结论精解详析设a,b,则xa,yb,()(ab)(ab)xaab,ybxaxayb.与共线,存在实数,使.ab(xayb)xayb.a与b不共线,消去,得4,为定值一点通利用平面向量基本定理和共线向量定理,引入参数解决问题是常考的热点题型,要注意合理地选择基底及构造向量共线,从而结合方程思想解决问题6在ABC中,已知D是AB边上一点,若2,则_.2,().又,.7已知向量e1,e2是平面内所有向量的一组基底,且ae1e2,b3e12e2,c2e13e2,若cab(,R),试求,的值将ae1e2与b3e12e2代入cab得c(e
7、1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因为c2e13e2,且向量e1,e2是平面内所有向量的一组基底,根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组1理解平面向量基本定理应注意以下几点(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量;(2)基底的选取不唯一;(3)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示,且这种表示是唯一的即:若a可用基底e1、e2分别表示为a1e11e2,a2e12e2,则12,12.2应用平面向量基本定理解题的一般步骤(1)选定基底;(2)进行向量间的运算;(3)结合有关向量定理、推论对(2)中结果进行分析、对比,从而得出问题的结论课下能力提升(十七) 一、填空题1设O是
8、平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点,有下列向量组:与;与;与;与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是_如图所示,与为不共线向量,可以作为基底与为不共线向量,可以作为基底与,与均为共线向量,不能作为基底2已知向量a和b不共线,实数x,y满足向量等式(2xy)a4b5a(x2y)b,则xy的值等于_由平面向量基本定理得解得xy1.13已知ABCD中,若a,b,则_.如图所示,bba. ba4点M是ABC所在平面内的一点,且满足,则ABM与ABC的面积之比为_如图,分别在,上取点E,F,使,在上取点G,使,则EGAC,FGAE,M与G重合,.5在平行四边形ABCD中
9、,CE与BF相交于G点若a,b,则_(用a,b表示)如图所示,B,G,F三点共线,(1)b(1)a.E,G,C三点共线,(1) a(1)(ab)由平面向量基本定理得, ab二、解答题6ABC中,EFBC,交AC于点F.设a,b,试用a,b表示.依题意作图,如图所示因为,EFBC,所以.所以()ab.7.如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|1,|2,(,R),求的值如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则.在RtOCD中,|2,COD30,OCD90,|4,|2,故4,2,即4,2,6.8以向量a,b为邻边作平行四边形OADB,C为AB
10、与OD的交点,以a,b为基底表示.如图所示,(ab),(ab)(ab),(ab),(ab),在MNC中,(ab)(ab)ab.第2课时平面向量的坐标运算在平面向量基本定理中,若e1e2,定理还适用吗?适用在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一个向量a,由平面向量基本定理,我们知道a表示为xiyj,试想数对(x,y)唯一吗?能理解为点坐标吗?唯一,能已知一点A的坐标(x,y),则向量确定吗?唯一确定,即xiyj.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的向量a,由平面向量的基本定理可知,有
11、且只有一对有序实数x,y,使得axiyj.我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a(x,y).已知a(x1,y1),b(x2,y2)试用单位向量i和j表示a和b.ax1iy1j,bx2iy2j.试求ab.ab(x1x2)i(y1y2)j.向量ab的坐标是什么?(x1x2,y1y2)平面向量的坐标运算(1)已知向量a(x1,y1),b(x2,y2)和实数,那么ab(x1x2,y1y2);ab(x1x2,y1y2);a(x1,y1)(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1)这就是说,一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标1在直角坐标平面内,以原点为起点的向量a,点A的位置被向量a
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