届二轮理科数学知识拓展 立体几何中的翻折问题及动点的轨迹问题Word文件下载.docx

1、而AAO是直线AA与平面ABC所成的角,由线面角的性质知AAOAAD,则有ADB,综合有ADB,故选B.法二若CACB,则当=时,ACB0,ADB0,排除A、C,故选B.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等,则动点P所在曲线的形状为（D）（A）线段 （B）一段椭圆弧（C）双曲线的一部分 （D）抛物线的一部分因为B1C1平面AB1,所以PB1就是P到直线B1C1的距离,故由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线的一段,从而选D.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,点P在其对角面BB1D1D内运动,若EP总与直线AC成等

2、角,则点P的轨迹有可能是（A）（A）圆或圆的一部分 （B）抛物线或其一部分（C）双曲线或其一部分 （D）椭圆或其一部分 由条件易知AC是平面BB1D1D的法向量,所以EP与直线AC成角总相等,得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等,故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,定点M在棱AB上（但不在端点A,B上）,点P是平面ABCD内的动点,且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为（A）（A）抛物线 （B）双曲线 （C）直线 （D）圆在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过P作PFAD,过F作FEA1D1,

3、垂足分别为F,E,连接PE.则PE2=a2+PF2,又PE2-PM2=a2,所以PM2=PF2,从而PM=PF,故点P到直线AD与到点M的距离相等,故点P的轨迹是以M为焦点,AD为准线的抛物线.5.四棱锥P-ABCD,AD平面PAB,BC平面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,APD=CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（B）（A）圆 （B）不完整的圆（C）抛物线 （D）抛物线的一部分因为AD平面PAB,BC平面PAB,所以ADBC且ADPA,CBPB,因为APD=CPB,所以tanAPD=tanCPB,所以=,所以PB=2PA,在平面APB内,以AB的中点为原点

4、,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A（-3,0）,B（3,0）,设P（x,y）（y0）,则（x-3）2+y2=4（x+3）2+y2（y0）,即（x+5）2+y2=16（y0）,所以P的轨迹是B.6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AC内的动点,若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离,则动点P的轨迹所在的曲线是（B）（A）抛物线 （B）双曲线 （C）椭圆 （D）直线以A为原点,AB为x轴、AD为y轴,建立平面直角坐标系.设P（x,y）,作PEAD于E,PFA1D1于F,连接PF,易知|PF|2=|PE|2+|EF|2=x2+1,又作PNCD于N,则|

5、PN|=|y-1|.依题意|PF|=|PN|,即=|y-1|,化简得（y-1）2-x2=1.故动点P的轨迹为双曲线,选B.二、填空题7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,总有APBD1,则动点P的轨迹为.易证BD1平面ACB1,所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动,因此,符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上,故所求的轨迹为线段B1C.答案:线段B1C8.如图,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折

6、起,则下列说法正确的是.（写出所有正确说法的序号）不论D折至何位置（不在平面ABC内）,都有MN平面DEC;不论D折至何位置（不在平面ABC内）,都有MNAE;不论D折至何位置（不在平面ABC内）,都有MNAB;在折起过程中,一定存在某个位置,使ECAD.由已知,在未折叠的原梯形中,ABDE,BEAD,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE=AD,折叠后如图所示.过点M作MPDE,交AE于点P,连接NP.因为M,N分别是AD,BE的中点,所以点P为AE的中点,故NPEC.又MPNP=P,DECE=E,所以平面MNP平面DEC,故MN平面DEC,正确;由已知,AEED,AEEC,所以AEMP,

7、AENP,又MPNP=P,所以AE平面MNP,又MN平面MNP,所以MNAE,正确;假设MNAB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE平面MNBA,AD平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,错误;当ECED时,ECAD.因为ECEA,ECED,EAED=E,所以EC平面AED,AD平面AED,所以ECAD,正确.三、解答题9.如图（1）,等腰直角三角形ABC的底边AB=4,点D在线段AC上,DEAB于E,现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2）.（1）求证:PBDE;（2）若PEBE,直线PD与平面PBC所成的角为30,求PE长.（1）证明:因为DEAB,所以DEBE,DEPE,因

8、为BEPE=E,所以DE平面PEB,又因为PB平面PEB,所以BPDE.（2）解:因为PEBE,PEDE,DEBE,所以分别以DE,BE,PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）,设PE=a,则B（0,4-a,0）,D（a,0,0）,C（2,2-a,0）,P（0,0,a）,可得=（0,4-a,-a）,=（2,-2,0）,设平面PBC的法向量n=（x,y,z）,所以令y=1,可得x=1,z=,因此n=（1,1,）是平面PBC的一个法向量,因为=（a,0,-a）,PD与平面PBC所成角为30,所以sin 30=|cos|,即|=,解得a=或a=4（舍去）,因此可得PE的长为.10.

9、已知矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,BE=CF=1,BC=2,AB=CD=3,P,Q分别为DE,CF的中点,现沿着EF翻折,使得二面角A-EF-B大小为.PQ平面BCD;（2）求二面角ADBE的余弦值.取EB的中点M,连接PM,QM,因为P为DE的中点,所以PMBD,因为PM平面BCD,BD平面BCD,所以PM平面BCD,同理MQ平面BCD,因为PMMQ=M,所以平面PMQ平面BCD,因为PQ平面PQM,所以PQ平面BCD.在平面DFC内,过F作FC的垂线Fz,则DFC=,以F为原点,FE,FC,Fz分别为x,y,z轴,建立坐标系,则E（2,0,0）,C（0,1,0）,B（2,1

10、,0）,D（0,-1,）,A（2,-1,）,所以=（-2,-2,）,=（0,2,-）,=（0,1,0）,设平面DAB的一个法向量为n=（x,y,z）,则取n=（0,）,同理平面DBE的一个法向量为m=（,0,）,所以cos=,所以二面角ADBE的余弦值为.11.如图,ABC中,O是BC的中点,AB=AC,AO=2OC=2.将BAO沿AO折起,使B点与图中B点重合.AO平面BOC;（2）当三棱锥B-AOC的体积取最大时,求二面角A-BC-O的余弦值;（3）在（1）的条件下,试问在线段BA上是否存在一点P,使CP与平面BOA所成的角的正弦值为?证明你的结论.因为AB=AC且O是BC中点,所以AOB

11、C,即AOOB,AOOC,又因为OBOC=O,所以AO平面BOC.在平面BOC内,作BDOC于点D,则由（1）可知BDOA,又OCOA=O,所以BD平面OAC,即BD是三棱锥B-AOC的高,又BDBO,所以当D与O重合时,三棱锥B-AOC的体积最大.法一过O点作OHBC于点H,连AH,由（1）知AO平面BOC,又BC平面BOC,所以BCAO,因为AOOH=O,所以BC平面AOH,所以BCAH,所以AHO即为二面角A-BC-O的平面角.RtAOH中,AO=2,OH=,所以AH=,所以cosAHO=,故二面角A-B1C-O的余弦值为.法二依题意得OA,OC,OB两两垂直,分别以射线OA,OC,OB为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz,设平面BOC的法向量为n,可得n=（1,0,0）,=（-2,0,1）,=（-2,1,0）.设平面ABC的法向量为m,由m=（1,2,2）.cos1舍去）.