概率论与数理统计试题及答案要点文档格式.docx

1、P（AB）=P（A）= P（B）=P（B）P（AB）=3. P（AB）= P（B）=P（B）P（AB）=九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率设表示报名表是第i个地区考生的（i=1, 2, 3），Aj表示第j次抽到的报名表是男生表（j=1, 2），则P（H1）=P（H2）=P（H

2、3）= P（A|）=； P（A|H）=； P（A1|H3）= （1） =P（）=（2） 由全概率公式得 P（A2|H1）=，P（A2|H2）=，P（A2|H3）= P（A2|H1）=，P（A|H2）=，P（A2|H3）= P（A2）= 因此， 十、（8分）设，试证事件与相互独立证明： 0P（A）1， 0P（B）1 P（A|B）= 又 P（A|B）+P=1 化简，得： P（AB）=P（A）P（B） 事件A、B相互独立三、（12分）随机变量的概率密度为，试求（1）系数；（2）的分布函数；（3）落在内的概率解 （1） =1, 即=1 （2） 当x-时, F（x）=0当|x|时， 当x时， =1（3）

3、 四、（12分）假设一设备开机后无故障工作的时间服从参数为的指数分布设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数（1）X可能的取值为0, 1, 2, 3设Ai=第i个元件出故障） i=1, 2, 3=（1-0.2）（1-0.3）（1-0.5）=0.28=0.20.70.5+0.80.30.5=0.47同理P（X=2）=P（=0.22=0.03 X的分布律：X23P0.280.470.220.03（2） 由（1）及分布函数的定义知当x0时，F（x）=0当0x1时，F（x）=P（X=0）=0.28当1x2时，F（x）=P（X=0）+

4、P（X=1）=0.75当2x0时,有FY（y）=P（Yy）=P（X2y）=P（-X）将FY（y）关于y求导数，即得y的概率密度为六、（12分）随机变量和均服从区间0，1上的均匀分布且相互独立1写出二维随机变量（）的边缘概率密度和联合概率密度2求（1）由题意得：又 X,Y相互独立 f（x, y）=fX（x）fY（y）= （2） =七、（12分）已知随机变量的分布律为:-11/41/2且已知（1）求（）的联合分布律；（2）是否相互独立？为什么？（1）由P（XY=0）=1，可见PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0易见 =0于是，得X和Y的联合分布：Y（2） P（X=0, Y=0）=0而P（X

5、=0）P（Y=0）= P（X=0） P（Y=0）P（X=0, Y0） X, Y不独立八、（12分）设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为:求随机变量的概率密度函数设Z的密度函数为fZ（z），则由卷积公式得a） 当z0时，f （t）=0，f （z）=0b） 当0z1时，z-10时有非零值，fY（zx）仅在zx0，即x0时 f（z）=，即 f（z）=。（2）E（XY）=E（X）E（Y）=11=1（X、Y均服从=1的指数分布）。八、（10分）设随机变量服从泊松分布，证明： X（），且E（X）=6=，则D（X）= =6根据切比雪夫不等式，有 P3X9=P|Z6|31。九、（10分）为连续型随机变

6、量，概率密度满足：当时，证明： axb， a=a。容易证明 D（X）E（xc）2，取c= D（X） =。三、计算题（满分60分）1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N（40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。（，）, 令，则.因此 .3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于”的概率。, 所以 故 .4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X的期望EX

7、和方差DX。.，.5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。（，而 ，故 ， ，.6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。，设，则，故拒绝域为,即 .由于不在拒绝域内，故接受，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.四、证明题 1.设A，B是两个随机事件，01，01，证明：A与B相互独立。，所以. 2.设总体X服从参数为的泊松分布，是X的简单随机样本，试证：是的无偏估

8、计。 ，故， 因此是的无偏估计.五、（10分）设随机变量具有密度函数 ， x，求X的数学期望和方差.解，（因为被积函数为奇函数）-4分-10分六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （x） 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999解 Xb（k;100,0.20）, EX=1000.2=20, DX=1000.20.8=16.-5分-10分 =0.994+0.933-1 .-15分七、（15分）设是来自几何分布:,的样本，试求未知参数的极大似然估计. 解 -5分 -10分解似然方程 ，得的极大似然估计 。-15分.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）