1、g A = 0标量场梯度的旋度恒为零,可況勺卩=0(3) 球坐标系中:arra0r sin 日 ap1L、r2 sin erc日砂ArrA0r sin EAcpA =两个重要性质:矢量场旋度的散度恒为零,7、斯托克斯公式:T TsqA”d AdSC S第二章 静电场和恒定电场E、电1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度T T 12位移矢量D和电位W。电场强度与电位的关系为: E =可申。s走8.854x10d2F/m2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的 计算公式如下:(1)点电荷分布5、 在均匀介质中,电位满足的微
2、分方程为泊松方程和拉普拉斯方程,即V-(有源区域),可2=0(无源区域)6、 介质分界面上的边界条件(1 )分界面上Dn的边界条件D1n - D2 = Ps或 n ( D1 - D2 ) = Ps(Ps为分界面上的自由电荷面密度),当分界面上没有自由电荷时,则有:D1n =D2n即n心1 = n 2,它给出了 D的法向分量在介质分界面两侧的关系:(2)导体系统的总能量为: We二丄送q/Pk。2 k场中任意(3 )能量密度 静电能是以电场的形式存在于空间, 而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。1T T 1 2 3一点的能量密度为:e = D E = eE2J /m3221 2在任何情况下,
3、总静电能可由 We = (EE2d T来计算。8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度E和电流密度J,且J=crE。b为媒质的电导率。(1)恒定电场的基本方程电流连续性方程:j积分形式:=微分形式:7 J=-空?或7 J+空=0. & a恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。 场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减,即 色=0和竺=0。因此,电流连续性方程变为: JdS= 0和 J =0,再加上a 戲 sqgd r=0和V xE =0,这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。(2)恒定电场的边界条件(1)J1n =J2n 或 話=0, (
4、 2)Et =孟或战(Et孟)=0应用欧姆定律可得: cr1E1cr2E2n和 丛。C 1 2此外,恒定电场的焦耳损耗功率密度为 P = CtE2,储能密度为e =-EE2。r -r2、恒定磁场的基本方程(1)真空中恒定磁场的基本方程为:A、磁通连续性方程:积分形式:如S =0,B、真空中安培环路定理:L微分形式:可B=0I积分形式:寸心=卩017 XB=P0J(2)磁介质中恒定磁场的基本方程为:A、 磁通连续性方程仍然满足:Bd S = 01 9I微分形式:可B = 0B、 磁介质中安培环路定理:ojH d =17C、磁性媒质的本构方程: 3=卩0出H = 其中M为磁化强度矢量)。卩0恒定磁
5、场是一种漩涡场,因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。3、磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化, 其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。程度用磁化强度M表示。磁介质的磁化(1)磁介质中的束缚体电流密度为: J=V X M ;jl =Mxd其中,n为表面的单位法向量矢量) 矢量A为矢量磁位。在库仑规范条件(7 A =0)下,场与源的关系方程为:72? = -4了(有源区)72A=0(无源区) 对于分布型的矢量磁位计算公式:(1) 线电流: =上山4兀5、恒定磁场的边界条件(1 )分界面上Bn的边界条件 在两种磁介质的分界面上,取一个跨过分界面 两侧的小扁状闭合柱面(高 hTO为无穷小量),
6、如右图所示,应用磁通连续性方程可得:T T T T T T匹 d S = B厂n dS -B2dS =0于是有:n (B2-B1)=0或 B1 n = B2n(2) 分界面上Ht (切向分量)的边界条件: 战(h1_h2),如果分界面上无源表面电流(即 Js =0),则衣(h1(2)磁介质表面上的束缚面电流密度为:4、恒定磁场的矢量磁位为: B =咒A,(2)面电流:dS4兀S-Ht) =0即 或Htan 3 _ 片tan日2 薦用矢量磁位表示的边界条件为: 乙 A2(gA1)t_4(gA2)t磁力线折射定律6、电感的计算(1 )外自感:L =鱼=比羽也,(2)互感:0 I 4兀 0 R(3)
7、内自感:单位长度的圆截面导线的内自感为:M 12 = M 21自感为L =比)。8兀7、磁场的能量和能量密度(1)磁场的总能量磁介质中,载流回路系统的总磁场能量为:(3) 磁场能量密度A、任意磁介质中:国 dh dl2l的一段圆截面导线的内叫ni njL (长度为871Wm Mkjljik2 j 土 kztm = 1 H,此时磁场总能量可以由 Wm*1=丄BH dT计算出;2飞在各向同性,线性磁介质中:m=lHB=hH,此时磁场总能量可以由2 2Wm第五章时变电磁场1、法拉第电磁感应定律(1)感应电动势为:des = dt(2)法拉第电磁感应定律乳S盘T T cB 微分形式: xE=- a而且
8、这种感应电场是一种旋涡场, 即感应电场不再是保积分形式:q Ed l =虫-它说明时变的磁场将激励电场,守场,感应电场 E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通 的负变化率。2、麦克斯韦位移电流假说按照麦克斯韦提出的位移电流假说,密度,称为位移电流密度,即Jd电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流三旦。位移电流一样可以激励磁场,从而可以得出时变场中的安培环路定律.dS! 微分形式:7:+丝I a3、麦克斯韦方程组LT T T cD(1)7xh =J+ T cB ( 2)积分形式I(2)7xe=-2Ct(3)V B =0i(4)gD=p(3) 非限定形式的麦克斯韦方程组
9、在线性和各向同性的介质中,有媒质的本构关系:D=gE=s02rE,B=AH = p0yr H,J1 =crE,由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组:_ T T cE(1)7xh =J+s 竺 (2)gE =-卩空(3) 7 4h =0(4) 可弋E = P(4) 麦克斯韦方程组的实质A、第一方程:时变电磁场中的安培环路定律。物理意义:磁场是由电流和时变的电场 激励的。B、 第二方程:法拉第电磁感应定律。说明了时变的磁场激励电场的这一事 实。C、 第三方程:时变电场的磁通连续性方程。说明了磁场是一个旋涡场。D、 第四方程:高斯定律。时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的 思考题:麦克斯韦方程中为
10、什么没有写进电流连续性方程?答:因为它可以由微分形式的方程组中、式两式导出。把式两边同时取散度得7 (*) =(碎国 7 (齐西=0d由于矢量的旋度的散度恒等于零,故得 d ,再把式代入上式,即得京了+竺=0,这便是电流连续性方程。4、分界面上的边界条件(1)法向分量的边界条件、 T T T T T TD的边界条件 nx(Di-D2)=Ps,若分界面上 Ps=0,贝y nx(Di -D2)=0B、B的边界条件nx(Bi-B2)=0(2)切向分量的边界条件T T TA、E的边界条件nx(E1-E2)=0 彳恳)=J!,若分界面上 = 0,贝y战(1 -H2)= 0G:=处)表面的边界条件Ht =
11、JsT T T TB、H的边界条件(3)理想导体( T T T(1) nXH =JsU(2)nE=0二 Et =0 ,I (3) n ”B =0二 Bn =0I T T Ps 亠(4) n,E E Sc则由上式中的决定。式中n是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明:在理想导体与空气的分界面上,如果导 体表面上分布有电荷,则在导体表面上有电场的法向分量,则由上式中的式决定,导体表面上电场 的切向分量总为零;导体表面上磁场的法向分量总为零,如果导体表面上分布有电流,则在导体表面 上有磁场的切向分量,5、波动方程.-2 j 2 E无源区域内,E、的波动方程分别为:72H-2=0、可2E缶雪
12、=0此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出:时变电磁场在无源空间中是以波动的方式在运动,故称时变电磁场为电磁波,且电磁波的传播速度为 Up 产。6、坡印廷定理和坡印廷矢量tttI 2 1 2 2数学表达式:ExHtIS = : 也 右吒)d 年EdT1 2 1 2由于 = SE dT为体积T内的总电场储能, Wn = 1 4H dt为体积T内的总磁场 乜2 丫22储能,P = 为体积T内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成:严T T C0EXH = 十Wn)中P,式中的s为限定体积T的闭合面。S Q对空间中任意闭合面 S限定的体积T,S矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电 磁能量的增加率和焦耳损耗功率,它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。欧拉公式: ejx = cosx + j sin X1、正弦电磁场(1) 正弦电场、磁场强度的复数表示方法(以电场强度为例)在直角坐标系中,正弦电磁场的电场分量可以写成:E(x, y,z,t) =ax Exm(x, y, z) -cost + Wx(x, y, z)】+ay Eym(x, y, z) tos +Wy(x, y,z)】+az Ezm(x, y,z) cost + Wz(x, y, z)】 运用欧拉公式将其表示
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