高中数学第一章算法初步第3节算法案例教学案新人教A版必修Word文件下载.docx

1、更相减损术：我国古代数学专著九章算术中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法（2）秦九韶算法求多项式f（x）anxnan1xn1a1xa0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算其过程是：改写多项式为：f（x）anxnan1xn1a1xa0（anxn1an1xn2a1）xa0（anxn2an1xn3a2）xa1）xa0（anxan1）xan2）xa1）xa0.设v1anxan1，v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.（3）进位制进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记

2、数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几其他进位制与十进制间的转化（）其他进位制化成十进制其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式（）十进制化成k进制的方法“除k取余法”问题思考（1）辗转相除法与更相减损术有什么联系？都是求两个正整数的最大公约数的方法二者的实质都是递推的过程二者都是用循环结构来实现（2）辗转相除法与更相减损术有什么区别？辗转相除法更相减损术区别以除法为主两个整数差值较大时运算次数较少相除余数为零时得结果以减法为主两个整数的差值较大时，运算次数较多相减，差与减数相等得结果相减前要做是否都是偶数的判断（3）当所给的多项式按x的降幂排列“缺

3、项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？所缺的项写成系数为零的形式，即写成0xn的形式课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：（1）辗转相除法是什么？ ；（2）更相减损术是什么？ ；（3）秦九韶算法是什么？ ；（4）进位制及进位制间的互化： .观察如图所示的内容：思考1辗转相除法的算理是什么？名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数思考2更相减损术的算理是什么？所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和

4、较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数 讲一讲1用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果尝试解答用辗转相除法：6124681144,468144336,144364，即612和468的最大公约数是36.用更相减损术检验：612和468为偶数，两次用2约简得153和117,15311736,1173681,813645,45369,36927,27918,1899，所以612和468的最大公约数为92236.求最大公约数的两种方法步骤（1）利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约

5、数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数（2）利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果 练一练1用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；解：因为1 7858402105，8401058.所以840和1 785的最大公约数是105.思考秦九韶算法的原理是什么？秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的设f（x）anxnan1xn1a1xa0，将其改写为

6、f（x）（anxn1an1xn2a1）xa0（anxn2an1xn3a2）xa1）xa0（anxan1）xan2）xa1）xa0令v0an，则有公式其中k1,2，n.这样我们便可由v0依次求出v1，v2，vn：v1v0xan1，v2v1xan2，v3v2xan3，2利用秦九韶算法求多项式f（x）x65x56x4x23x2当x2时的值为（）A320 B160C320 D300尝试解答将多项式变式为f（x）（x5）x6）x0）x1）x3）x2，v01，v12（5）7，v27（2）620，v320（2）040，v440（2）181，v581（2）3159，v6159（2）2320，即x2时，多项式的

7、值为320.答案：A利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性2用秦九韶算法计算多项式f（x）1235x8x26x45x53x6在x4时的值时，v3的值为（）A144 B136 C57 D34解析：选B根据秦九韶算法多项式可化为f（x）（3x5）x6）x0）x8）x35）x12.由内向外计算v03；v13（4）57；v27（4）634；v334（4）0136.思考1进位制应如何表示？若一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右

8、下角标明基数思考2常见的进位制有哪些？（1）二进制：只使用0和1两个数字；满二进一，如1110（2）（2）八进制：使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同数字；满八进一，如7110（8）；（3）十六进制：使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；满十六进一，如F12E10（16）3（1）把二进制数101 101（2）化为十进制数；（2）把十进制数458转化为四进制数尝试解答（1）101 101（2）1250241231220211203284145，所以二进制数101

9、101（2）转化为十进制数为45.（2）45813 022（4）进位制的转换方法（1）将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果（2）十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余3（1）二进制数算式1 010（2）10（2）的值是（） A1 011（2） B1 100（2）C1 101（2） D1 000（2）（2）下列各组数中最小的数是（）A1 111（2） B210（6）C1 000（4） D101（8）（1）选B二进制数的加法是逢二进一，所以选B.（2）选A统一化为十进制数为1 111（2）15

10、；210（6）78；1 000（4）64；101（8）65.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化难点是会用秦九韶算法求多项式的值2本节课要掌握以下几类问题：（1）掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲1.（2）掌握秦九韶算法步骤，见讲2.（3）进位制的转换方法，见讲3.3本节课的易错点有两个：（1）弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2；（2）进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲3.课下能力提升（八）学业水平达标练题组1辗转相除法与更相减损术1下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中

11、正确的是（）A都是偶数必须约简B可以约简，也可以不约简C第一步作差为1567284；第二步作差为728412D以上都不对选B约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错C中第二步应为847212，故选B.2用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是（）A2 B3 C4 D5选C29484210,21084126,1268442,844242，共做4次减法运算31 624与899的最大公约数是_1 6248991725，8997251174，725174429，174296，故1 624与899的最大公约数是29.294用两种方法求210与98的最大公约数用辗转相除法：21098214，98147.210与98的最大公约数为14.用更相减损术：210与98都是偶数，用2约简得105和49，1054956,56497，49742,42735，35728,28721，