1、,。数列公比是2的等比数列。综上所述,若=0, 则 ;若,则。()当且时,令,则。 是单调递减的等差数列(公差为lg2) 则 b1b2b3b6=;当n7时,bnb7=。数列lg的前6项的和最大,即当=6时,数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识,分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】(I)由题意,n=1时,由已知可知,分类讨论:由=0及,结合数列的和与项的递推公式可求。 (II)由且时,令,则,结合数列的单调性可求和的最大项 。例2. (2012年天津市理13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,.()求数列与的通项公式;()记,证明.(1)设等差数
2、列的公差为,等比数列的公比为,由=,得。由条件,得方程组,解得。()证明:由(1)得, ; ;由得,【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。【分析】()直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。()写出的表达式,借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例3. (2012年天津市文13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且=,. ()记,证明。例4. (2012年广东省理14分)设数列的前n项和为Sn,满足且成等差数列。(1)求a1的值;(2)求数列的通项公式。(3)证明:对一切正整数n,有.(1)且成等差数列 ,解得。即。(2) ,得。,
3、。,。数列成首项为,公比为的等比数列, 。(3)(当n=1时,取等号。), (当且仅当n=1时,取等号)。【考点】数列与不等式的综合,等差数列和等比数列的应用,数列递推式。(1)在中,令分别令n=1,2,由成等差数列,得到关于的三元方程,解之即可可求得。(2)由,两式相减即可得,可知,数列成首项为,公比为的等比数列,从而可求数列的通项公式。(3)构造,证得其大于等于0,从而,即(当且仅当n=1时,取等号)。因此。例5. (2012年广东省文14分)设数列的前项和,数列的前项和为,满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式(1)当时,。 ,解得。(2) , 当时, ,得: ,此式对也成立。当时,
4、。得:,即 。是以为首项,2为公比的等比数列。 ,即,。【考点】数列递推式,等比数列的性质。由得解得。 (2)两次递推后得到以为首项,2为公比的等比数列,由此能求出数列的通项公式。例6. (2012年江西省理12分)已知数列的前项和(其中),且的最大值为。(1)确定常数,并求;(2)求数列的前项和。(1)当n时,Snn2kn取最大值,即8Skk2k2k2,k216,k4。n(n2)。又a1S1,ann。(2)设bn,Tnb1b2bn1, Tn2TnTn2144。【考点】数列的通项,递推、错位相减法求和,二次函数的性质。(1)由二次函数的性质可知,当n时,取得最大值,代入可求,然后利用可求通项,
5、要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解。(2)设bn,可利用错位相减求和即可。例7. (2012年江西省文12分)已知数列的前项和(其中,为常数),且(1)求;(1),当时,。则,。=2。,即,解得=2。()。当=1时,。综上所述。(2), ,得,即。【考点】数列的求和,等比数列的通项公式。(1)先根据前项和求出数列的通项表达式;再结合求出,即可求出数列的通项。(2)直接利用错位相减法求和即可。例8. (2012年浙江省文14分)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=,nN,数列bn满足an=4log2bn3,nN.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.(1)由Sn=,得
6、 当n=1时,;当n2时,nN。由an=4log2bn3,得,nN。(2)由(1)知,nN,。,nN。【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式,对数的定义。(1)由Sn=,作即可求得an;代入an=4log2bn3,化为指数形式即可求得bn。 (2)由an,bn求出数列anbn的通项,得到,从而作即可求得T。例9. (2012年重庆市理12分)设数列的前项和满足,其中. (I)求证:是首项为1的等比数列;(5分) (II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.(7分)【答案】证明:(),。 。 ,。 ,。 。是首项为1,公比为的等比数列。(II)当=1或=2时,易知成立。当时,成立。当时,当时,上面不等式可化为,设,当时, 。当时,所要证的不等式成立。当时,令,则。在(0,1)上递减。在(0,1)上递增。 当时,由已证结论得:综上所述,当且时,。当且仅当=1,2或时等号成立。【考点】数列与不等式的综合,数列与函数的综合,等比数列的性质,等比关系的确定。(I)根据,得,两式相减,即可证得是首项为1,公比为的等比数列。(II)当=1或=2时和当时, 成立。当时,分,三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。
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