数值计算方法试题及答案分析Word文件下载.docx

1、（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。（1）,（2）,（3）,（4）三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：19 25 30 38 19.0 32.3 49.0 73.3 2、（15分）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算时，（1）（1）试用余项估计其误差。（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近

2、的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）（2）求出 Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格库塔法求的值。2、（8分）求一次数不高于 4次的多项式使它满足,六、（下列 2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。2、2、用二步法

3、 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二 一、判断题：（共 16分，每小题分）、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）、当时，Newtoncotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。（）、矩阵的范数。（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用）（）6、设，且有（单位阵），则有。（）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle分解：，则的值分别为2，2。（）二、填空

4、题：（共 20分，每小题 2分）1、设，则均差 _，_。2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 _阶。、区间上的三次样条插值函数在上具有直到_阶的连续导数。4、向量,矩阵，则 _，_。5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为_，_。6、设，则（谱半径）_。（此处填小于、大于、等于）7、设，则_。三、简答题：（9分）1、1、方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：，则其产生的序列是否收敛于？说明理由。2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、3、设，试选择较好的算法计算函数值。四、（10分）已知数

5、值积分公式为：，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求的迭代公式为：证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10分）设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过 3的插值多项式，并导出其余项。0 1 2 0 1 2 -1 1 3 3 九、（9分）设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点，是以

6、为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1）（1）当时，（2）（3）十、（选做题 8分）若，互异，求的值，其中。数值计算方法试题三 一、（24分）填空题（1）（1）（2分）改变函数（）的形式，使计算结果较精确 。（2）（2）（2分）若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分 次。（3）（3）（2分）设，则 （4）（4）（3分）设是 3次样条函数，则 a=,b=,c=。（5）（5）（3分）若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。（6）（6）（6分）写出求解方程组的 Gauss-Seidel迭代公式

7、，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。（7）（7）（4分）设,则，。（8）（8）（2分）若用 Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为 二.（64分）（1）（1）（6分）写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（2）（2）（12分）以 100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。（3）（3）（10分）求在区间0,1上的 1次最佳平方逼近多项式。（4）（4）（10分）用复化 Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。（5）（5）（10分）用 Gauss列主元消去法解方程组：（6）（6）（8分）求方程组 的最小二乘

8、解。（7）（7）（8分）已知常微分方程的初值问题：用改进的 Euler方法计算的近似值，取步长。三（12分，在下列 5个题中至多选做 3个题）（1）（1）（6分）求一次数不超过 4次的多项式 p（x）满足：，（2）（2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：（3）（3）（6分）用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为。（4）（4）（6分）推导求解常微分方程初值问题 的形式为,i=1,2,N 的公式，使其精度尽量高，其中,i=0,1,N,（5）（5）（6分）求出用差分方法求解常微分方

9、程的边值问题 所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题三 一、（24分）填空题（9）（1）（2分）改变函数（）的形式，使计算结果较精确 。（10）（2）（2分）若用二分法求方程在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分 次。（11）（3）（2分）设，则 （12）（4）（3分）设是 3次样条函数，则 a=,b=,c=。（13）（5）（3分）若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。（14）（6）（6分）写出求解方程组的 Gauss-Seidel迭代公式 ，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。（15）（7）（4分）设,则，。（16）（8）（2分）若用 Eu

10、ler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为 二.（64分）（8）（1）（6分）写出求方程在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（9）（2）（12分）以 100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。（10）（3）（10分）求在区间0,1上的 1次最佳平方逼近多项式。（11）（4）（10分）用复化 Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。（12）（5）（10分）用 Gauss列主元消去法解方程组：（13）（6）（8分）求方程组 的最小二乘解。（14）（7）（8分）已知常微分方程的初值问题：三（12分，在下列 5个题中至多

11、选做 3个题）（6）（1）（6分）求一次数不超过 4次的多项式 p（x）满足：，（7）（2）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：（8）（3）（6分）用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05，取特征向量的初始近似值为。（9）（4）（6分）推导求解常微分方程初值问题 的形式为,i=1,2,N 的公式，使其精度尽量高，其中,i=0,1,N,（10）（5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一答案 一、一、填空题（每空 1分，共 17分）1、（10）2、（）3

12、、=（3），=（3），=（1）4、（1）、（）、（）5、6、6、9 7、0 8、9、2 10、（）、（）二、二、选择题（每题 2分）1、（2）2、（1）3、（1）4、（3）三、1、（8分）解：解方程组 其中 解得：所以，2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），故收敛；（2），故收敛；（3），故发散。选择（1）：，Steffensen迭代：计算结果：，有加速效果。2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，SOR 迭代法：五、1、（15分）解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格库塔法：，所以。设为满足条件的 Hermite插值多项式，则 代入条件得：六、（下列

13、2题任选一题，4分）1、解：将分布代入公式得：构造 Hermite插值多项式满足其中 则有：，2、解：所以 主项：该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案 一、一、判断题：（共 10分，每小题分）1、（）2、（）3、（）4、（）5、（）6、（）7、（）8、（）二、二、填空题：（共 10分，每小题 2分）1、0 2、_二_ 3、_二_4、_16、90_5、6、=7、0 三、三、简答题：（15分）1、1、解：迭代函数为 2、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为 0，如果在消元过程中发现某个主元素为 0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0，但若主元素的绝对

14、值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、3、解：四、四、解：显然精确成立；时，；所以，其代数精确度为 3。五、五、证明：故对一切。又 所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。六、六、解：是。因为在基点 1、2处的插值多项式为 。其代数精度为 1。七、七、证明：由题意知：又 所以。八、解：设 所以 由得：所以 令，作辅助函数 则在上也具有 4阶连续导数且至少有 4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以 九、九、证明：形如的高斯（Gauss）型求积公式具有 最高代数精度 2n+1次，它对取所有次数不超过 2n+1次的多项式均精确成立 1）2）因为是 n次多项式，且有 所以（）3）取，代入求积公式：因为是 2n次多项式，所以 故结论成立。一十、十、解：数值计算方法试题三答案 一.（24分）（1）（2分）（2）（2分）10（3）（2分）（4）（3分）3-3 1（5）（3分）477（6）（