高中数学函数专题Word格式.docx

1、当时，。3已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合.（1）求和；（2）定义与的差集：且.设，均为整数，且。为 取自的概率，为 取自的概率，写出与 的三组值，使，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列、的通项公式（不必证明）；（3）若函数中，（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；（1）有最大值，.配方得，由.，。（2）要使，。可以使中有 3个元素，中有 2 个元素，中有 1个元素.则.中有 6个元素，中有 4个元素，中有 2个元

2、素。则.中有 9个元素,中有 6 个元素,中有 3个元素.则.（3）（理），得.，当且仅当时等号成立.在上单调递增。.又，故没有最小值。（文）单调递增，又，没有最大值。4已知函数是奇函数。（1）求 m 的值；（2）判断在区间上的单调性并加以证明；（3）当时，的值域是，求的值.解:（1）m=1（2）由（1），任取，.上是减函数；当 0a1时，要使的值域是，则，而 a1，上式化为 又当 x1 时，.当.因而，欲使的值域是，必须，所以对不等式，当且仅当时成立.5|AB|=|xB-xA|表示数轴上 A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个 x 与 y间的

3、运算 p（x,y）叫做 x,y之间的距离：条件一，非负性 p（x,y）0，等号成立当且仅当 x=y；条件二，交换律p（x,y）=p（y,x）;条件三，三角不等式 p（x,z）p（x,y）+p（y,z）.试确定运算 s（x,y）=是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例。要说明 s（x,y）是否为距离，只要验证它是否满足三条即可 s（x,y）=0 等号成立当且仅当|x-y|=0,即 x=y，第一条满足 s（x,y）=s（y,x），第二条也满足 s（x,z）=函数 f（x）=1-（或）在 x0 上单调增，且|x-z|x-y|+|y-z|（8 分）s（x,z）=+=s（x,y）+s（y,z）（10

4、分）总之，s（x,y）是距离 6已知曲线相交于点 A，以其上一动点 P（x0,y0）为切点的直线 l 与 y轴相交于 Q点.（）求直线 l 的方程，并用 x0表示 Q点的坐标；（）求 （）解：（）由正弦定理得：7设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当时，这里 t 为常数；（3）对于属于 M 的一个固定值，得，在映射 F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：（1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即对一切实数 x 均成立。特别令 x=0，得 a=c；令，得 b=d这与（a，b），（c，d

5、）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数 a0，b0，使 由于为常数，设是常数.从而。（3）设，由此得（，）在映射 F下，的原象是（m，n），则 M1的原象是 消去 t 得，即在映射 F 下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆。8试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 9设 ABC=,且 AB=,符合此条件的（A,B,C）共有（注:A,B,C 顺序不同为不同组）（A）A.500 组 B.75 组 C.972 组 D.125组 10电信局为了配合客户的不同需要，设有 A，B两种优惠方案.这两种方案应付电话费（元）与通

6、话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（.注：图中MNCD）试问：（I）若通话时间为 2 小时，按方案 A、B各付话费多少元？（II）方案 B从 500 分钟后，每分钟收费多少元？（III）通话时间在什么范围内，方案 B才会比方案 A优惠？设这两种方案的应付话费与通话时间的函数 关系分别为则由已知及图象可得 （I）通话时间 2小时，按方案 A，B各付话费 116元和 168 元；（II）因为，所以方案 B从 500分钟后，每分钟收费0.3 元；（III）由图象知，当时，由 可得 即当通话时间在（，方案 B比方案 A优惠.11、（04河南）若求函数的单调区间.解：（I）当 a=0 时，若

7、x0，则0,则0.所以当 a=0 时，函数 f（x）在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（II）当 由 所以，当 a0时，函数 f（x）在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当 a0，解得 0 x,由 2x+ax20，解得 x.所以当 a0时，函数 f（x）在区间（，0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（，+）内为减函数.12、（04河南文）已知在上是减函数，求的取值范围.解：（）当（）时，是减函数.所以，当是减函数；（II）当时，=由函数在 R 上的单调性，可知 当时，）是减函数；（）当时，在 R 上存在一个区间

8、，其上有 所以，当时，函数不是减函数.综上，所求的取值范围是（13、若函数在区间（1,4）内为减函数，在区间（6,）上为增函数，试求实数的取值范围.解：函数的导数 令，解得 为增函数.依题意应有 当 所以 解得 所以 a的取值范围是5，7.14、已知函数,.（i）求函数的最大值；（ii）设,证明:.（）解：函数的定义域为.令 当 当 又 故当且仅当 x=0 时，取得最大值，最大值为 0.（）证法一：由（）结论知 由题设 因此 所以 又 综上 证法二：设 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值 因此 即 设 则 当 因此上为减函数.因为 即 15、求函数在0,2上的最小值.解：令

9、 化简为 解得 当单调增加；当单调减少.所以为函数的极大值.又因为 所以 为函数在0，2上的最小值，为函数 在0，2上的最大值.16、已知函数在处取得极值.（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，即 解得。令，得。若，则，故在上是增函数，在上是增函数。若，则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。（2）解：曲线方程为，点不在曲线上。设切点为，则点 M 的坐标满足。因，故切线的方程为 注意到点 A（0，16）在切线上，有 化简得，解得。所以，切点为，切线方程为。17、10、已知函数是 R 上的奇函数，当时取得极值.（1）求的单调区间和极

10、大值；（2）证明对任意，不等式恒成立.（1）解：由奇函数的定义，应有，即 因此，由条件为的极值，必有，故 解得，因此，当时，故在单调区间上是增函数 当时，故在单调区间上是减函数 当时，故在单调区间上是增函数 所以，在处取得极大值，极大值为（2）解：由（1）知，是减函数，且 在上的最大值 在上的最小值 所以，对任意的，恒有 18、（04重庆）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产 x 吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入成本）解：每月生产 x 吨时的利润为 ，故它就是最大值点，且最大值

11、为：答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315万元.19、14、已知在区间-1，1上是增函数.（）求实数的值组成的集合；（）设关于的方程的两个非零实根为.试问：是否存在实数，使得不等式对任意及-1，1恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（）f（x）=，f（x）在-1，1上是增函数，f（x）0对 x-1，1恒成立，即 x2-ax-20 对 x-1，1恒成立.设（x）=x2-ax-2，方法一：（1）=1-a-20，-1a1，（-1）=1+a-20.对 x-1，1，f（x）是连续函数，且只有当 a=1 时，f（-1）=0 以及当 a=-1时，f（1）=0 A=

12、a|-1a1.方法二：0，0 x1，x2 是方程 x2-ax-2=0的两非零实根，x1+x2=a，从而|x1-x2|=.x1x2=-2，-1a1，|x1-x2|=3.要使不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意 aA及 t-1，1恒成立，当且仅当 m2+tm+13 对任意 t-1，1恒成立，即 m2+tm-20 对任意 t-1，1恒成立.设 g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），方法一：g（-1）=m2-m-20，g（1）=m2+m-20，m2 或 m-2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x1-x2|对任意 aA及 t-1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m-2.方

13、法二：当 m=0时，显然不成立；当 m0 时，m0，m0.则0,从而 f（x）在（0,+）上单调递增;若 x0,则0,从而 f（x）在（-,0）上单调递减.（当 a0 时,令=0,得 x（ax+2）=0,故 x=0 或 若 x0,则0,从而 f（x）在（-,0）上单调递减.若 0 x0.从而 f（x）在（0,）上单调递增;若 x 则0.从而 f（x）在（+）上单调递减.（）（当 a=0 时,f（x）在区间0,1上的最大值是 f（1）=1.（当时,f（x）在区间0,1上的最大值是 f（1）=.当 a-2时,f（x）在区间0,1上的最大值是.22、如图，已知曲线 C1：=x3（x0）与曲线 C2:

14、y=-2x3+3x（x0）交于点 O、A.直线 x=t（0t1）与曲线 C1、C2分别相交于点 B、D.（）写出四边形 ABOD 的面积 S 与 t 的函数关系 S=f（t）；（）讨论 f（t）的单调性，并求 f（t）的最大值.y=x3，解：（）由 得交点 O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.y=-2x3+3x，f（t）=SABD+SOBD=|BD|1-0|=|BD|=（-3t3+3t），即 f（t）=-（t3-t），（0t1）.（）f（t）=-t2+.令 f（t）=0 解得 t=.当 0t0，从而 f（t）在区间（0，）上是增函数；当t1时，f（t）0，从而 f（t）在区间（，1）上是减函数.所以当 t=时，f（t）有最大值为 f（）=.