浙江专用版高中数学第一章空间几何体13131柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A版必修2Word格式文档下载.docx

1、S上底r2下底面面积：S下底r2S侧l（rr）S（r2r2rlrl）3.体积公式（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则VSh.（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则VSh.（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则V（SS）h.即 时 自 测1.判断题（1）直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.（）（2）圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.（）（3）柱体的底面积为S，高为h，其体积VSh，特别地，圆柱的底面半径为r，高为h；其体积Vr2h.（）（4）已知圆锥SO的底面半径r2，高为4，则其体积为16.（提示（2）圆锥的侧面展开图是一个扇形.（

2、4）V224.2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于（）A.15 B.15 C.24 D.30解析S侧rl3515.答案B3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4 B.3 C.2 D.解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.答案C4.圆台OO的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于_.解析V（121222）614.答案14类型一空间几何体的表面积【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解以AB

3、所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC13（cm）.该几何体的表面积为（416）1342162532（cm2）.规律方法1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.【训练1】 如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积.解先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D.因为BCa，SDa.所以SSBCBCSDaaa2.因此，四面体SABC的表面积S

4、4a2a2.类型二空间几何体的体积（互动探究）【例2】 如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比.思路探究探究点一题中三棱台与三棱锥有什么关系？提示题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的.探究点二求体积的常用方法有哪些？提示求几何体体积的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法.解设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h（S4S2S）Sh，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh，体积比为124.规律方法求几

5、何体体积的常用方法【训练2】 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解在三棱锥A1ABD中，AA1平面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Da，VA1ABDVAA1BD，a2aaad.da.A到平面A1BD的距离为a.类型三与三视图有关的表面积、体积问题【例3】 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是（）A.4，8 B.4，C.4（1）， D.8，8解析由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，V2.四棱锥的侧面是全等的等腰三角

6、形，底为2，高为，S侧424.规律方法1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，ABC为等腰三角形，且AC2，AC边上的高为1，SABC1.由侧视图可知：三棱锥的高h1，VSABCSABCh.答案课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与

7、原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线的长是2，则这个长方体的体积是（）A.6 B.12 C.24 D.48解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2（2x）2（3x）2（2）2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6.V长方体24648.答案D2.一个几何体的三视图及其

8、尺寸如图（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A.12 B.18C.24 D.36解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224.故选C.3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为_.解析设底面半径为r，侧面积为42r2，表面积为2r242r2，其比为.4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，截下一个棱锥CA1DD1求棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比.解已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CA1DD1的底面积为S，高为h，故三棱锥CA1DD1的体积：VCA1DD1ShSh

9、，余下部分体积为：ShShSh.所以棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比为15.基 础 过 关1.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于（）A.72 B.42 C.67 D.72解析S圆台表S圆台侧S上底S下底（34）6324267.2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACD的体积是（）A. B. C. D.1解析三棱锥D1ADC的体积VSADCD1DADDC答案A3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别是（）A.4，8 B.4，C.4（1）， D.8，8解析由题意可知该四棱锥为正四棱

10、锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为，所以S侧44，V2.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_.解析S圆柱22aa2，S圆锥aa2，S圆柱S圆锥21.答案215.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3.解析根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱.故该几何体的体积V2124（m3）.6.如图是某几何体的三视图.（1）画出它的直观图（不要求写画法）；（2）求这个几何体的表面积和体积.解（1）这个几何体的直观图如图所示.（2）这个几何体是一个简单组

11、合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1，高为2），它的上部是一个圆锥（底面半径为1，母线长为2，高为），所以所求表面积为S12227，体积为V22.7.在ABC中，AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.解过C点作CDAB，垂足为D.以ABC中边AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB5，底面半径DC，故S表DC（BCAC）。VDC2ADBD（ADBD）.即所得旋转体的表面积为，体积为.能 力 提 升8.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体

12、积是（）A.54 B.54 C.58 D.58解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52h1（r29r23rr），r2h112.令原圆锥的高为h，由相似知识得知，hh1，V原圆锥（3r）2h3r2h11254.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（）A. B.C. D1解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，V1，故选C.10.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1_.解析由题意知VABCDA1C1D1VABCDA1B1C1D1VBA1B1C122AA1AA1AA110，AA13.答案