1、大毛毛虫倾情搜集精品资料第十讲 二项式定理与多项式知识、方法、技能二项式定理1二项工定理2二项展开式的通项 它是展开式的第r+1项.3二项式系数 4二项式系数的性质(1)(2)(3)若n是偶数,有,即中间一项的二项式系数最大. 若n是奇数,有,即中项二项的二项式系数相等且最大.(4)(5)(6)(7)(8) 以上组合恒等式(是指组合数满足的恒等式)是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.(7)和(8)的证明将在后面给出.5证明组合恒等式的方法常用的有(1)公式法,利用上述基本组合恒等式进行证明.(2)利用二项式定理,通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中.(3)利用数学归纳法.(4)构造组合问
2、题模型,将证明方法划归为组合应用问题的解决方法.赛题精讲例1:求的展开式中的常数项.【解】由二项式定理得 其中第项为 在的展开式中,设第k+1项为常数项,记为则 由得r2k=0,即r=2k,r为偶数,再根据、知所求常数项为【评述】求某一项时用二项展开式的通项.例2:求的展开式里x5的系数.【解】因为 所以的展开式里x5的系数为 【评述】本题也可将化为用例1的作法可求得.例3:已知数列满足 求证:对于任何自然数n,是x的一次多项式或零次多项式. (1986年全国高中数学联赛试题)【思路分析】由是等差数列,则从而可将表示成的表达式,再化简即可.【解】因为 所以数列为等差数列,设其公差为d有 从而由
3、二项定理,知又因为从而 所以当的一次多项式,当零次多项式.例4:已知a,b均为正整数,且求证:对一切,An均为整数.【思路分析】由联想到复数棣莫佛定理,复数需要,然后分析An与复数的关系.【证明】因为显然的虚部,由于 所以从而的虚部.因为a、b为整数,根据二项式定理,的虚部当然也为整数,所以对一切,An为整数.【评述】把An为与复数联系在一起是本题的关键.例5:已知为整数,P为素数,求证:【证明】由于为整数,可从分子中约去r!,又因为P为素数,且,所以分子中的P不会红去,因此有所以【评述】将展开就与有联系,只要证明其余的数能被P整除是本题的关键.例6:若,求证:【思路分析】由已知 猜想,因此需
4、要求出,即只需要证明为正整数即可.【证明】首先证明,对固定为r,满足条件的是惟一的.否则,设则矛盾.所以满足条件的m和是惟一的. 下面求.因为 又因为 所以 故 【评述】猜想进行运算是关键.例7:数列中,求的末位数字是多少?【思路分析】利用n取1,2,3,猜想的末位数字.【解】当n=1时,a1=3, ,因此的末位数字都是7,猜想, 现假设n=k时, 当n=k+1时, 从而 于是 故的末位数字是7.【评述】猜想是关键.例8:求N=19881的所有形如为自然数)的因子d之和.【思路分析】寻求N中含2和3的最高幂次数,为此将19变为201和18+1,然后用二项式定理展开.【解】因为N=19881=(
5、201)881=(145)881= 其中M是整数. 上式表明,N的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+29)881 =32288+34P=32(288+9P)其中P为整数. 上式表明,N的素因数中3的最高次幂是2. 综上所述,可知,其中Q是正整数,不含因数2和3. 因此,N中所有形如的因数的和为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.例9:设,求数x的个位数字.【思路分析】直接求x的个位数字很困难,需将与x相关数联系,转化成研究其相关数.【解】令,由二项式定理知,对任意正整数n. 为整数,且个位数字为零.因此,x+y是个位数字为零的整数.再对y估值,因为, 且,所以 故x的
6、个位数字为9.【评述】转化的思想很重要,当研究的问题遇到困难时,将其转化为可研究的问题.例10:已知试问:在数列中是否有无穷多个能被15整除的项?证明你的结论.【思路分析】先求出,再将表示成与15有关的表达式,便知是否有无穷多项能被15整除.【证明】在数列中有无穷多个能被15整除的项,下面证明之.数列的特征方程为它的两个根为,所以 (n=0,1,2,)由 则取,由二项式定理得由上式知当15|k,即30|n时,15|an,因此数列中有无穷多个能被15整除的项.【评述】在二项式定理中,经常在一起结合使用.针对性训练题1已知实数均不为0,多项的三根为,求 的值.2设,其中为常数,如果求的值.3定义在实数集上的函数满足:4证明:当n=6m时,5设展开式为,求证:6求最小的正整数n,使得的展开式经同类项合并后至少有1996项.(1996年美国数学邀请赛试题)7设,试求:(1)的展开式中所有项的系数和.(2)的展开式中奇次项的系数和.8证明:对任意的正整数n,不等式成立.(第21届全苏数学竞赛题)大毛毛虫倾情搜集精品资料
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