相似三角形的性质(经典全面)Word格式文档下载.doc

1、如图，与相似，则有（为相似比）3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）图1如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）图2如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）图34相似三角形周长的比等于相似比如图4，与相似，则有（为相似比）应用比例的等比性质有图45相似三角形面积的比等于相似比的平方如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）进而可得图5四、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三

2、角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它

3、们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”1横向定型法欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母恰为的顶点；分母的两条线段是和，三个字母恰为的三个顶点因此只需证2纵向定型法欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右边的比两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点因此只需证3中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形这种方法就是等量代换法在证明比例式时，常用到中间

4、比比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之复合式的证明比较复杂通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图：平分交于，求证：证法一：过作，交的延长

5、线于，点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型证法二；过作的平行线，交的延长线于，做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下：八、相似证明中的基本模型例题精讲一、与三角形有关的相似问题【例1】 如图，在中，点在边上，若在增加一个条件就能使，则这个条件可以是 【例2】 如图，、是的边、上的点，且，求证：.【例3】 如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，求的长.【例4】 直线与的边相交于点，与边相交于点，下列条件：；中，能使与相似的条件有（ ）A1个B2个C3个D4个【例

6、5】 如图，中，点是内一点，使得，则 【例6】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求【例7】 如图，已知中，与相交于，则的值为（ ）A. B.1 C. D.2【例8】 在中，的延长线交的延长线于， 求证：【例9】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：【例10】 如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：【例11】 如图，已知，若，求证：【例12】 如上图，垂足分别为、，和相交于点，垂足为.证明：【例13】 如图，已知，找出、之间的关系，并证明你的结论.【例14】 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、及的延长线分

7、别相交于点、和.求证：【例15】 已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长线交于求证：【例16】 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：【例17】 如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、 与的交点，、分别是与、与、与的交点，如果，求证：【例18】 设、分别是凸四边形的边、上的点，且，求证：直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角【例19】 如图， 中，若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则_.【例20】 如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积分别为，则的面积是 【例21】 【如图，梯形

8、的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（ ）ABCD【例22】 如图，梯形中，两条对角线、相交于，若，那么 【例23】 已知：的高所在直线与高所在直线相交于点（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，若，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长【例24】 如图所示，在中，为的中点，是边上的点，求的面积与的面积的两倍的和二、与平行四边形有关的相似问题【例25】 如图，已知平行四

9、边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、，若，则的长是 【例26】 如图，已知，求证：【例27】 如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值【例28】 如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，且与的交点为点，求的面积。【例29】 如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.三、与梯形有关的相似问题【例30】 如图，在梯形中，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长【例31】 已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接

10、、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【例32】 如图，在梯形中，分别是的中点，交于，交于，求的长 【例33】 如图，已知梯形中，,（）,交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.四、与内接矩形有关的相似问题【例34】 中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【例35】 如图，已知中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【例36】 如图，已知中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【例37】 如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如

11、果，求的面积【例38】 如图，在中，动点（与点，不重合）在边上，交于点当的面积与四边形的面积相等时，求的长当的周长与四边形的周长相等时，求的长试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长五、与角平分线有关的相似问题【例39】 如图，是的角平分线，求证：【例40】 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【例41】 已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【例42】 已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：【例43】 已知：、分别为的内、外角平分线，求证：【例44】 在中，平分交于点，求证：【例45】 已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若、与成等角.【例46】 如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、. 证明：是定值；求的最小值六、与公共边有关的相似问题【例47】 如图，直角中，证明：，.【例48】 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：与；与；与；与，其中相似的为（ ）ABCD【例49】 如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）ABCD【例50】 如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：【例51】 如图，点在上，是的中点，于，点是的中点，连接