1、证法相交弦定理 O中,AB、CD为弦,交于点P。PAPBPCPD连结AC、BD,证:APCDPB切割线O中,PT切O于点T,割线PB交O于点A。PT2PAPB连结TA、TB,PTBPATPB、PD为O的两条割线,交O于A、C两点。过P作PT切O于T,用两次切割线定理2、托勒密定理:圆内接四边形两组对边乘积之和,等于两条对角线的乘积。已知:四边形ABCD内接于圆,如图,求证:ABCD + BCAD = ACBD证明:在BAD内作BAE=CAD,交BD于E。因ABE=ACD,所以ABEACD, 从而 得 ABCD = ACBE ;易证ADEACB,从而 得BCDE ;+ 得ABAD = AC(BE
2、+DE)= ACBD 3、弦切角定理:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角称为弦切角。弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。弦切角定理的证明:AP切O于P,PQ是弦,则APQ是弦切角,APQ夹的弧是弧PQ, 弧PQ所对的圆周角记为PCQ APQ=PCQ (弦切角的位置分以下三种情况)1圆心O在APQ外部 过P作直径BP,联结BC 则BPAP,APB=90,且BCP是直径BP所对的圆周角,BCP=90 则有APB=BCP,即APQ+BPQ=BCQ+PCQ 由于BPQ,BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以BPQ=BCQ 所以APQ=PCQ2圆心O在APQ的一边,PQ上 此时PQ是直径,则PQAP,APQ=90 而且PCQ是直径PQ所对的圆周角,PCQ=903圆心O在APQ内部 则有APB=BCP 所以APB+BPQ=BCP+BCQ 即APQ=PCQ2