九年级二次函数培优竞赛试题及答案Word下载.doc

1、（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值1.【解析】试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且BAC为直角，可得OAB与CAD互余，由AOB为直角，可得OAB与ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据

2、C在第四象限得出C的坐标；（2）由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；假设存在点P使ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，过P1作P1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP1，利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等，得出AP1与P1M的长，再由P1为第二象限的点，得出此时P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，过P2作P2N垂直

3、于y轴，如图所示，同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等，得出P2N与BN的长，由P2为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如图所示，过P3作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H与BH的长，由P3为第四象限的点，写出P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标试题解析：（1）过C作CDx轴，垂足为D，BAAC，OAB+CAD=90，又AOB=90，OAB+OBA=90CAD=OBA，又AB=AC，AOB=ADC=90AOBCDA，又A（1

4、，0），B（0，2），OA=CD=1，OB=AD=2，OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，C的坐标为（3，1）；（2）抛物线y=x2+ax+2经过点C，且C（3，1），把C的坐标代入得：1=+3a+2，解得：a=，则抛物线的解析式为y=x2+x+2；存在点P，ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1Mx轴，如图所示，AP1=CA，MAP1=CAD，P1MA=CDA=90AMP1ADC，AM=AD=2，P1M=CD=1，P1（1，1），经检验点P1在抛物线y=x2+x+2上

5、；（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2Ny轴，如图，同理可证BP2NABO，NP2=OB=2，BN=OA=1，P2（2，1），经检验P2（2，1）也在抛物线y=x2+x+2上；（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3Hy轴，如图，同理可证BP3HBAO，HP3=OB=2，BH=OA=1，P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2+x+2上；则符合条件的点有P1（1，1），P2（2，1）两点考点：1.二次函数

6、综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形2.【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）（，） （3）当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形【解析】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；（3）设P点

7、坐标为（-1，n）先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：PBC=90，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程速度，即可求出此时对应的t值；BPC=90，同可求出对应的t值；BCP=90，同可求出对应的t值（1）y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得， 解得，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（

8、m，-m2-2m+3），则m0，-m2-2m+30y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2直线AB的解析式为y=x+3，当x=-1时，y=-1+3=2，E点坐标为（-1，2）SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=22+（m2+2m-3）-（-1-m）=m2+3m，以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得：，（舍去），当时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，点F的坐标为（，）；（3）设P点坐标为（-1，n）B（0，3），C（1，0）

9、，BC2=12+32=10分三种情况：如图2，如果PBC=90，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，化简整理得6n=16，解得n=，P点坐标为（-1，），顶点D的坐标为（-1，4），PD=4-=，点P的速度为每秒1个单位长度，t1=；如图3，如果BPC=90，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，P点坐标为（-1，2）或（-1，1），PD=4-2=2或PD=4-1=3，t2=2，t3=3；如图4，如果BCP=90，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，化简整理得6n=-4，解得n=-，P点坐标为（-1，-），PD=4+=，t4=；综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形