中考数学能力试题研究最值问题Word下载.doc

1、一 代数问题1. 对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，若，则的取值可以是（ ）.A.40 B.45 C.51 D.562.已知是整数，则n的最小整数值是_3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x0）的最小值是2”其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x0）的最小值是2模仿张华的推导，你求得式子（x0）的最小值是（）A.1 B.2 C.6 D.10 二 立体图形中的最值问题1.如图，圆锥的底面圆直径

2、AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为_ 由题意知底面圆的直径AB=2，故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2=，解得n=90，所以展开图中PSC=90，根据勾股定理求得PC=，所以小虫爬行的最短距离为2.如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC6 cm，点P是母线BC一点且PC= 一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）Acm B5cm Ccm D7cm 侧面展开图如图所示,圆柱的底面周长为6cm,AC=3cm, PC=PC=4cm在Rt

3、ACP中,故选B:三 平面几何类型1.线段的长最小【例1】已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 分析：因为要解决OC的长的最大值，点C在第一象限，结合正三角形，点C恰是正三角形的顶点，于是过点C作CDAB于D，连接OC。易求得ODC中，DO，CD，ODC中DODCCO，即COCO，CO的最大值为OyxACB【思路点评】充分运用三角形的三边关系逆用“折”转“直”，或者看成点O、C间线段最短，辅助线的添画运用非常巧妙。2.【例2】如图所示直线上有一点P到原点的距离最近，求这个最短距离。M1由所在的直线的解析式为：，过

4、点（，）于是有方程解得：，所以，直线上有一点P到原点的距离最近，即时，由直线，设直线分别交轴、轴于、两点，当y时，x，当时，A点的坐标为（，）B点的坐标为（，），RtOAB中，可求得，利用OAB的面积可求得斜边上的高为，即为点P到原点的最近距离。【思路点评】抓住是直线上一点到原点的距离最近，充分运用点到直线的距离“垂线段最短”，运用三角形的面积法，得以求得答案。3.【例3】（2010年浙江杭州）在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 答案：2.4练习：1.（2014达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上

5、，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm则折痕EF的最大值是cm考点：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=BC，然后利用勾股定理列式求出BD，从而求出AB，设BE=x，根据翻折的性质可得BE=BE，表示出AE，在RtABE中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF解答：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，由翻折的性质得，BC=BC=10cm，在RtBDC中，BD=8cm，AB=ADBD=108=2cm，设BE=x，则BE=BE=x，AE=ABBE=6x，在RtABE中，AE2

6、+AB2=BE2，即（6x）2+22=x2，解得x=，在RtBEF中，EF=cm故答案为：点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观2.如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；（2）求出该最小值（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，（2）连接OE，OF，过O作OHEF于H，在RtADB中，ABC

7、=45，AB=，由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理得：EOH=EOF=BAC=60，OEH=30，OE=1，在RtEOH中，OH=，EH=，由垂径定理得：EF=2EH=【例3】如图，在直角坐标系中，点M（x，0）可在x轴上运动，且它到点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标。 作P点关于x 的对称点P，P点的坐标为（5，5） P（5，5） PM=P，连结Q，则Q与x轴的交点应为满足+的值最小，即为点设所在的直线的解析式为：ykx+b（k0,k、b为常数）,于是有方程组解得：所以yx+当y时，x，所以（，）【思路点评】充

8、分运用找点关于线的对称点实现“折”转“直”，归结到点、之间线段最短，实现问题的解决。类型2线段和最小【例1】（2013内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=5轴对称-最短路线问题；菱形的性质作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，QBP=MBP，即Q在AB上，M

9、QBD，ACMQ，M为BC中点，Q为AB中点，N为CD中点，四边形ABCD是菱形，BQCD，BQ=CN，四边形BQNC是平行四边形，NQ=BC，四边形ABCD是菱形，CO=AC=3，BO=BD=4，在RtBOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，MP+NP=QP+NP=QN=5，本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置 练习：1.已知在平面直角坐标系中，C是 轴上的点，点， ，则 的最小值是（ ）A. B. 8 C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点

10、C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60，由勾股定理得：OB=，由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，AM=，AD=2=3，AMB=90，B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN= AD=，由勾股定理得：DN=，C（，0），CN=3=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，即PA+PC的最小值是，故选B3. 如图9,A,B两个村子分别位于一

11、条河的两岸,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能让由A到B的路程最短?注意：桥必须与河岸垂直4.【数学思考】如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）【问题解决】如图2，过点B作BBl2，且BB等于河宽，连接AB交l1于点M，作MNl1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置【类比联想】（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AFGE，求证：AF=EG（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EGHF，设y=，试求y与x的函数关系式【拓展延伸】如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米（3）当a=_米时，a=b（4）当a在什么范围内时，ab？请说明理由 （1） 证明：如图3，过点作DHAF交AB于点H，则有1+2=90GEAF，DHGE四边形ABCD是正方形，3+2=90，BA=AE，DGHE，3=1，四边形DGEH是平行四边形DH=GE，在ABF与DAH中，ABFDAH，DH=AF