1、连接DE、EF、FD,则有PG1PD=23, PG2PE=23,G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内,G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3=G2,平面G1G2G3平面ABC.(2)解 由(1)知=,G1G2=DE.又DE=AC,G1G2=AC.同理G2G3=AB,G1G3=BC.G1G2G3CAB,其相似比为13,SSABC=19. 3如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明.解 SG平面DEF,证明如下:方法一 连接CG交DE
2、于点H,如图所示.DE是ABC的中位线,DEAB.在ACG中,D是AC的中点,且DHAG.H为CG的中点.FH是SCG的中位线,FHSG.又SG平面DEF,FH平面DEF,SG平面DEF.方法二 EF为SBC的中位线,EFSB.EF平面SAB,SB平面SAB,EF平面SAB.同理可证,DF平面SAB,EFDF=F,平面SAB平面DEF,又SG平面SAB,5如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证:(1)BFHD1;(2)EG平面BB1D1D;(3)平面BDF平面B1D1H.证明 (1)如图所示,取BB1的中点M,易证四边形HM
3、C1D1是平行四边形,HD1MC1.又MC1BF,BFHD1.(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OE DC,又D1G DC,OE D1G,四边形OEGD1是平行四边形,GED1O.又D1O平面BB1D1D,EG平面BB1D1D.(3)由(1)知D1HBF,又BDB1D1,B1D1、HD1平面HB1D1,BF、BD平面BDF,且B1D1HD1=D1,DBBF=B,平面BDF平面B1D1H.6如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.AB平面EFGH,CD平面EFGH.(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.(1)证明 四边形EFGH为
4、平行四边形,EFHG.HG平面ABD,EF平面ABD.EF平面ABC,平面ABD平面ABC=AB,EFAB.AB平面EFGH.同理可证,CD平面EFGH. (2)解 设EF=x(0x4),由于四边形EFGH为平行四边形, .则=1-.从而FG=6-.四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0x4,则有8l12,四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).7如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?解 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点,P为D
5、D1的中点,QBPA.P、O为DD1、DB的中点,D1BPO.又POPA=P,D1BQB=B,D1B平面PAO,QB平面PAO,平面D1BQ平面PAO.8正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.PQ平面BCE.证明 方法一 如图所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,连接MN. 正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,AE=BD.又AP=DQ,PE=QB,又PMABQN,PM QN,四边形PMNQ为平行四边形,PQMN.又MN平面BCE,PQ平面BCE,PQ平面BCE.方法二 如图所示,连接AQ,并延长交BC于K,连接EK,A
6、E=BD,AP=DQ,PE=BQ,= 又ADBK,= 由得=,PQEK.又PQ平面BCE,EK平面BCE,方法三 如图所示,在平面ABEF内,过点P作PMBE,交AB于点M,连接QM.PMBE,PM平面BCE,即PM平面BCE,= 又AP=DQ,PE=BQ,= 由得=,MQAD,MQBC,又MQ平面BCE,MQ平面BCE.又PMMQ=M,平面PMQ平面BCE,PQ平面PMQ,PQ平面BCE.8如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体
7、积;(3)在所给直观图中连接BC,证明:BC平面EFG.(1)解 如图(1)所示.图(1)(2)解 所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-(22)2=(cm3). (3)证明 如图(2),在长方体ABCDABCD中,连接AD,则ADBC. 因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG,从而EGBC. 又BC平面EFG, 图(2)所以BC面EFG.9.如图所示,正四棱锥PABCD的各棱长均为13,M,N分别为PA,BD上的点,且PMMA=BNND=58.直线MN平面PBC;(2)求线段MN的长.(1)证明 连接AN并延长交BC于Q,连接PQ,如图所示.ADBQ,ANDQNB,=,又=
8、,=,MNPQ,又PQ平面PBC,MN平面PBC,MN平面PBC.(2)解 在等边PBC中,PBC=60,在PBQ中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2PBBQcosPBQ=132+-213=,PQ=,MNPQ,MNPQ=813,MN=7.10 在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN平面PAD 证明:方法一,取PD中点E,连接AE,NE底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,MACD,E是PD的中点,NECD,MANE,且MANE,AENM是平行四边形,MNAE又AE平面PAD,MN 平面PAD,MN平面PAD方法二取CD中点
9、F,连接MF,NFMFAD,NFPD,平面MNF平面PAD,11 在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1AC,ABAC,求证:A1CBC1【分析】要证明“线线垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可连接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱,AA1平面ABC,ABAA1又ABAC,AB平面A1ACC1,A1CAB又AA1AC,侧面A1ACC1是正方形,A1CAC1由,得A1C平面ABC1,A1CBC112 在三棱锥PABC中,平面PAB平面ABC,ABBC,APPB,求证:平面PAC平面PBC【分析】要证明“面面垂直”,可通过“线面垂直”进行转化,而“线面垂
10、直”又 可以通过“线线垂直”进行转化平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB,且ABBC,BC平面PAB,APBC又APPB,AP平面PBC,又AP平面PAC,平面PAC平面PBC13如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,侧面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,A1AB60,E,F分别是AB1,BC的中点()求证:直线EF平面A1ACC1;()在线段AB上确定一点G,使平面EFG平面ABC,并给出证明()连接A1C,A1E侧面A1ABB1是菱形, E是AB1的中点,E也是A1B的中点,又F是BC的中点,EFA1CA1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1,直线EF平面A1ACC1(
11、2)解:当时,平面EFG平面ABC,证明如下:连接EG,FG侧面A1ABB1是菱形,且A1AB60,A1AB是等边三角形E是A1B的中点,EGAB平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB,EG平面ABC又EG平面EFG,平面EFG平面ABC14 如图,正三棱柱ABCA1B1C1中,E是AC的中点平面BEC1平面ACC1A1;()求证:AB1平面BEC1()ABCA1B1C1是正三棱柱,AA1平面ABC,BEAA1ABC是正三角形,E是AC的中点,BEAC,BE平面ACC1A1,又BE平面BEC1,平面BEC1平面ACC1A1()证明:连接B1C,设BC1B1CDBCC1B1是矩形,D是B1C的中点, DEAB1又DE平面BEC1,AB1平面BEC1,AB1平面BEC115 在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知BD2AD8,()设M是PC上的一点,证明:平面MBD平面PAD;()求四棱锥PABCD的体积()在ABD中,由于AD4,BD8,所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BD平面ABCD,所以BD
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