高等数学下复旦大学出版习题Word格式文档下载.docx

1、（8），其中L是抛物线y=x2上从点（-1,1）到点（1,1）的段弧解：（1）L：y=x2，x从0变到2，（2）如图11-1所示，L=L1+L2其中L1的参数方程为图11-1L2的方程为y=0（0x2a）故 （3）（4）圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:02（5）（6）直线的参数方程是 t从10（7）（如图11-2所示）图11-2，x从01，z从01（8）4计算，其中L是（1）抛物线y2=x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧；（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段；（3）先沿直线从（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线；（4）曲线x=2t2+t+

2、1,y=t2+1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧，y：12，故（2）从（1,1）到（4,2）的直线段方程为x=3y-2，y：12（3）设从点（1,1） 到点（1,2）的线段为L1，从点（1,2）到（4,2）的线段为L2，则L=L1+L2且L1：12；L2：，x：14；从而（4）易得起点（1,1）对应的参数t1=0，终点（4,2）对应的参数t2=1，故5设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由（a,0）沿椭圆移动到B（0,b），求力所做的功依题意知 F=kxi+kyj，且L：，t：0（其中k为比例系数）6计算对坐标的曲线积分：（1），为x2+y2+z2=1

3、与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限；（2），为x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分解:（1）：即其参数方程为：t：02故：（2）如图11-3所示图11-3=1+2+31： t：0，又根据轮换对称性知7应用格林公式计算下列积分：（1）， 其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2），其中L为正向星形线；（3），其中L为抛物线2x=y2上由点（0,0）到（,1）的一段弧；（4），L是圆周上由点（0,0）到（1,1）的一段弧；（5），其中m为常数，L为由点（a,0）到（0,0）经过圆x

4、2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）图11-4（1）L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，由格林公式得（2）P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则， 从而，由格林公式得（3）如图11-5所示，记，围成的区域为D（其中=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2，由格林公式有：（4）L、AB、BO及D如图11-6所示图11-6由格林公式有而P=x2-y，Q=-（x+sin2y），即，于是（5）L，OA如图11-7所示图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，由格林公式得：于是：

5、8利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：（1）星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；（2）双纽线r2=a22cos2；（3）圆x2+y2=2ax（1）（2）利用极坐标与直角坐标的关系x=rcos，y=rsin得从而xdy-ydx=a2cos2d于是面积为：（3）圆x2+y2=2ax的参数方程为9证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：（1）；（2）；（3）沿在右半平面的路径；（4）沿不通过原点的路径；（1）P=x-y，Q=y-x显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关取L为从（0,0）到（1,1）的直线段，则L的方程为：y=x，x：01于是（2） P=6xy

6、2-y3，Q=6x2y-3xy2显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，有，所以积分与路径无关取L为从（1,2）（1,4）（3,4）的折线，则（3），P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关取L为从（1,1）到（1,2）的直线段，则（4） ，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，取L为从（1,0）（6,0）（6,8）的折线，则10验证下列P（x,y）dx+Q（x,y）dy在整个xOy面内是某一函数u（x,y）的全微分，并求这样的一个函数u（x,y）：（1）（x+2y）dx+（2x+y）dy；（2）2xydx+x2dy；（3）（3x

7、2y+8xy2）dx+（x3+8x2y+12yey）dy；（4）（2xcosy+y2cosx）dx+（2ysinx-x2siny）dy（1）P=x+2y，Q=2x+y，所以（x+2y）dx+（2x+y）dy是某个定义在整个xOy面内的函数u（x,y）的全微分（2）P=2xy,Q=x2, ，故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u（x,y）的全微分（3）P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，故（3x2y+8xy2）dx+（x3+8x2y+12yey）dy是某个定义在整个xOy面内函数u（x,y）的全微分，（4）P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x

8、2siny，有，故（2xcosy+y2cosx）dx+（2ysinx-x2siny）dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u（x,y）的全微分，11证明：在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且，（x,y）G因此在开区域G内是某个二元函数u（x,y）的全微分由知12设在半平面x0中有力构成力场，其中k为常数，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关场力沿路径L所作的功为其中，则P、Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导数，并且因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关

9、13当为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？因为：z=0，在xOy面上的投影区域就是当取的是上侧时为正号，取的是下侧时为负号14计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧； （2），其中是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第封限内的部分的前侧；（3），其中f（x,y,z）为连续函数，是平面x-y+z=1在第封限部分的上侧；（4），其中是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；（5），其中为曲面与平面z=h（h0）所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；（6），其中为x=y=z=0

10、，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向；（1）：，下侧，在xOy面上的投影区域Dxy为：x2+y2R2（2）如图11-8所示，在xOy面的投影为一段弧，图11-8故，在yOz面上的投影Dyz=（y,z）|0y1，0z3，此时可表示为：，（y,z）Dyz，在xOz面上的投影为Dxz=（x,z）|0x1，0z3，此时可表示为：，（x,z）Dxz，因此：（3）如图11-9所示，平面x-y+z=1上侧的法向量为n=1,-1,1，n的方向余弦为，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：（4）如图11-10所示：图11-10=1+2+3+4其方程分别为1：z=0，2：x=0，3：y=0，4：x+

11、y+z=1， 由积分变元的轮换对称性可知因此（5）记所围成的立体为，由高斯公式有：（6）记所围的立方体为，P=y（x-z），Q=x2，R=y2+xz由高斯公式有15.设某流体的流速V=（k,y,0），求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.设球体为，球面为，则流量（由高斯公式）16利用高斯公式，计算下列曲面积分：（1），其中为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立体的表面的外侧；（2），其中为球面x2+y2+z2=a2的外侧；（3），其中为上半球体x2+y2a2，的表面外侧；（4），其中是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2=9的整个表面的外侧；（

12、1）由高斯公式（2）由高斯公式：（3）由高斯公式得（4）由高斯公式得：17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：（1），其中为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；（2），其中是用平面截立方体：0x1，0y1，0z1的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向；（3），其中是圆周x2+y2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；（4），其中是圆周x2+y2+z2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向（1）取为平面x+y+z=0被所围成部分的上侧，的面积为a2（大圆面积），的单位法向量为由斯托克斯公式（2）记为为平面被所围成部分的上侧，可求得的面积为（是一个边长为的正六边形）；的单位法向量为（3）取：z=2，Dxy：x2+y24的上侧，由斯托克斯公式得：（4）圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取：z=0，Dxy：x2+y29由斯托克斯