长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗Word文件下载.doc

1、日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地试从数学的角度加以解释【模型假设】为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 （没有像台阶那样的情况），即从数学的角度看，地面是连续曲面这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大

2、小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的【建立模型】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

3、于是，旋转角度这一变量就表示了椅子的位置为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角（0）表示出椅子绕点O旋转后的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地由于椅子在不同的位置是的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是的函数由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是的函数而由假设（3）可知，椅子在任何位

4、置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的，其函数值至少有三个同时为0因此，只需引入两个距离函数即可考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（），其中0，从而将原问题数学化。数学模型：已知f（）和g（）是的非负连续函数，对任意，f（）g（）0，证明：存在00，使得f（0）g（0）0成立。 【求解模型】如果f（0）g（0）0，那么结论成立。如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）0，g（0）0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转

5、角度后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（）g（0），g（）f（0）.而由f（0）0，g（0）0，得g（）0， f（）0。令h（）f（）g（），由f（）和g（）的连续性知h（）也是连续函数。又h（0）f（0）g（0）0，h（）f（）g（）0，,根据连续函数介值定理，必存在0（0，）使得h（0）0，即f（0）g（0） ；又因为f（0）g（0）0，所以f（0）g（0）0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。【评注】用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键本模型的巧妙之处就在于用变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳