线代(证明题)Word格式.doc

1、证明：因为 （1分） （3分）又因为 得证 （5分）三、（8分）设A为n阶矩阵，、是A的不同特征值，、依次是属于、的特征向量，试证明不是A的特征向量. 假设是A的特征向量。即存在使得 。 （2分）故 ，即 。 （4分）因为、线性无关，所以 （6分）即，与题设矛盾， 故不是A的特征向量。 （8分）四、（5分）设三阶实对称矩阵的特征值为；，分别是矩阵属于特征值的特征向量，求属于特征值3的特征向量。解：设属于特征值3的特征向量为，则有 （2分）化简得：解此齐次线性方程组的基础解系， （4分）因此属于特征值3的特征向量为，为任意非零常数。 （5分）五、（15分）求向量组，的一个极大无关组，并用这个极大

2、无关组表示其它向量。（3分）（6分）（9分）故为一个极大无关组， （12分）且 （15分）六、（6分）设A、B均是对称阵，B和E+AB都可逆，求证：是对称阵由B和E+AB都可逆，得 （2分）又，所以 （4分） （6分） 故是对称阵七、（11分）已知向量组线性无关，试证向量组线性无关。证明一：设存在数，使，即整理得已知向量组线性无关，故，求解该方程组得，所以向量组线性无关。（这是我们书上证明的方法）证明二：由条件可得 （5分）记，即因，知可逆，故 （8分） 由线性无关，所以线性无关 （11分）八、（6分）设为奇数阶可逆矩阵，且，求设为（奇数）阶可逆矩阵，由得于是 （2分）再由（4分）得，所以 （6分）九、（15分）已知向量组线性相关，求k 解： （3分） （7分） （11分） 当k-2=0时，即k=2 ， （13分）秩A=23，此时向量组线性相关 （15分）十、（6分）设为阶非零矩阵，当时，证明， （1分）假设，则， （3分） 设的行向量，则，矛盾， （5分） 故. （6分）十一、（15分）求向量组的一个极大无关组，并用这个极大无关组表示其余向量 （3分） （6分） （9分）所求的一个极大无关组为， （12分） 且 （15分）十二、（6分）设为阶非零矩阵，证明可逆设，由，故 （2分）而，不妨设，于是 （4分） （5分）