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1、1.1 研究的科学意义结核病是由结核杆菌感染引起的慢性传染病。结核菌可侵入人体各种器官，但主要侵犯肺脏，称为肺结核病，是我国发病及死亡人数最多的传染病之一。它的主要传播途径是呼吸道传播，传染源是接触排菌的肺结核患者1，有一定的潜伏期（一般48周）。结核病人经过治疗可减少其身上的结核杆菌，但有些结核杆菌却无法根除，约有10%的结核病人有再次复发的可能，因此具有较高的复发率2。肺结核病人根据痰检结果的阳性和阴性又分为传染性肺结核和非传染性肺结核，阴性肺结核病人不会向外排菌，因此不具有传染性，但仍具有较高的复发率。据世界卫生组织不完全统计，肺结核的致死率仅次于艾滋病，位居第二，肺结核病是全球最严重的

2、公共卫生问题之一3。既往数据表明，我国肺结核的病例数及新发病人数比较高，形势依旧严峻。目前，我国肺结核病例数仅次于印度，居世界第二位4。我国每年新发结核病人数达800-1000万，每天有8000人死于结核病，每年有300万人死于结核病，结核病已成为我国重大的社会问题5。据2000年第四次全国结核病流行病学抽样调查（简称流调）显示，我国是全球22个结核病高负担国家之一6；2010年第五次流调显示，2001-2010年全国共发现和治疗肺结核患者828万例，其中传染性肺结核患者450万例，男性的患病率要高于女性，并且随着年龄增加逐步增加，75-79岁组达到高峰7。调查结果表明，我国肺结核具有显著的地

3、域特征和年龄结构。肺结核作为一种慢性传染病，其发生、发展、流行与人口密度、生活习惯、交通、社会因素、环境、气候等都有联系，并且由于其传染性和普遍性，该病的发生、发展及流行是一种空间现象。据资料显示，我国传染性肺结核集中分布在乡村、中西部地区和丘陵山区等地区，这部分地区肺结核疫情严重及疾病造成的经济负担较大。西部地区的患病率约为中部地区的1.7倍和东部地区的2.4倍，农村地区患病率约为城镇地区的1.6倍，从中可以看出，我国肺结核病具有显著的地域特征8。2011年卫生部报告指出，肺结核发病和死亡数始终位居甲乙类传染病之首，15岁到35岁的青少年是结核病的高发峰年龄，65岁及以上人群出现肺结核症状的

4、比率是15-65岁人群的2.9-3.3倍，从而具有显著的年龄结构9。因此，对具有空间扩散与年龄结构的肺结核传播机制和发展趋势进行研究具有重要的理论和实际意义。 1.2 国内外研究现状及分析利用数学的理论和方法对传染病进行定性、定量和模拟研究，揭示传染病的发展和传播机理，估计其发展趋势并给出防控策略是传染病动力学研究的重要课题之一。传染病动力学模型研究已有百年历史，最早可追溯到1760年D.Bernoulli 研究天花的预防接种，具有奠基性的工作是1927年由Kermack与McKendrick在10中提出的仓室模型，建立了区分疾病流行与否的重要的“阈值理论”，为传染病动力学的理论研究奠定了基础

5、。基于他们的工作，大批学者利用仓室建模的思想研究了传染病的流行与控制，并取得了丰硕的成果。这些研究大多是基于空间均匀假设（即假设易感者、感染者和康复者等在空间是均匀分布的），利用常微分方程、差分方程或时滞微分方程等动力学模型，主要是在时间尺度上考虑系统随时间变化的趋势，寻找使疾病灭绝和持久的条件等等11。首先，1999年Keeling教授研究表明12，空间扩散影响着传染病（如肺结核等）的传播，因此在对肺结核进行建模时需要考虑空间因素。空间均匀场假设的传染病动力学模型通常假设每个个体和其他任何个体接触的机会是一样的，系统动态是在同质空间里研究的等。对空间异质性模型，需要考虑个体或种群的空间位置和

6、他们的空间分布，疾病在空间中的传播具有更强的局部属性。研究带空间扩散的偏微分方程模型，主要是利用反应扩散方程建模。反应扩散方程用连续变量刻画时间、空间及个体的状态，且假设个体在空间的运动是以相同的概率向各个方向随机扩散。反应是指个体变化或物种间相互作用过程，扩散是描述个体的空间运动。反应扩散模型可分析出个体在空间扩散速度等相关问题，进而很好地反映个体时空分布的形成和变化规律。基于反应扩散方程的传染病动力学模型是很有意义的工作，不但具有更为丰富的理论内涵，而且能全面揭示疾病传播的潜在实际。Allen教授等14建立了基于反应扩散方程的空间传染病模型，其中假设易感者和感染者在空间中均可自由移动，且感

7、染率和康复率在空间中不是常数，给出模型的基本再生数，研究了平衡点的稳定性。并指出只限制感染者的活动未必能遏制疾病的传播，而通过接种疫苗和治疗将环境空间化为低危区，或通过隔离局部限制易感者的移动，则疾病有可能被消除。王稳地教授等对登革热的研究发现，感染率和康复率在空间上的非均匀性对疾病动力学起着重要的作用, 通过空间平均化得到的常微分方程系统可能很大程度地低估疾病的危险15。但遗憾的是，据参阅文献所知，目前还没有学者利用反应扩散方程对肺结核的传播动力学行为进行研究。因此，对反应扩散的肺结核动力学进行建模并分析其动力学行为，将帮助我们更好的认识肺结核的传播机理，准确分析疾病的空间分布特征，从而有的

8、放矢地制定预防和控制措施。其次，肺结核的传播与年龄结构有着密切的关系，是一个不可忽视的重要特征。例如，15岁到35岁的青少年是结核病的高发峰年龄，65岁及以上人群出现肺结核症状的比率是15-65岁人群的2.9-3.3倍；为预防肺结核，按年龄接种疫苗是最为广泛应用的措施。传统的常微分方程模型没有考虑不同年龄群体对肺结核传播的差异性，因此在对肺结核进行建模时需要考虑年龄结构。这些与年龄有关的模型大都以一阶偏微分方程组或常微分偏微分方程组混合的方式来建立的，通常称之为年龄结构或类年龄结构模型，其模型分析的复杂程度要高于泛函微分方程。具有年龄结构的传染病模型作为传染病动力学的重要内容之一，已经有了很好

9、的研究16-19，但年龄结构的肺结核动力学模型的研究没有太多的进展。Hoppensteadt最早建立和研究了年龄结构流行病模型16，该模型不仅具有年龄结构，而且具有类年龄（即个体在相应类所度过的时间）结构，由于模型比较复杂，作者只讨论了解的适定性，而对该模型平衡解的存在性和稳定性至今仍没有人讨论。但此后，人们对它的各种特殊情况进行了许多研究，得到了一些有意义的结果。Webb在专著17中介绍了非线性年龄结构种群模型和传染病模型的基本问题和处理方法。李学志等在18中利用半群理论和稳定性理论研究一些高维年龄结构传染病模型。Magal和Ruan在19中利用积分半群理论、中心流型定理和Lyapunov-

10、Perron方法将类年龄结构模型抽象为非稠密定义域半线性的Cauchy问题，得到模型Hopf分支存在的充要条件，等等。这些结果为建立和研究年龄结构的肺结核动力学模型提供了一定的理论基础。相对于常微分方程和时滞泛函微分方程模型的稳定性分析，具有年龄结构或类年龄结构传染病模型的全局稳定性研究的复杂程度要高于泛函微分方程。研究具有年龄结构或类年龄结构的肺结核动力学模型，依旧有很多需要解决的理论问题。例如，将模型转化成非稠定半线性柯西问题后，如何去掉边值条件的非线性限制？不同的状态空间对所研究的问题是否会有影响？对于无穷维动力系统的年龄结构传染病模型，映射半流的一致持续性证明方法，除了利用Hale和W

11、altman20，Magal和Zhao21开创的无穷维动力系统的一致持续理论外，Smith和Thieme在22中提出的方法是否可以应用，能否将这两种方法推广到年龄结构模型中呢？此外，当试图通过构造Lyapunov 函数证明平衡点的全局稳定性，需要将LaSalle不变集原理平行推广到无穷维动力系统，此时就不得不证明系统生成的映射半流的相对紧性23。上述问题都是深入研究年龄结构和类年龄结构模型需要解决的重要的理论前提,本项目将应用上述理论研究年龄结构的肺结核动力学模型，分析年龄结构模型和常微分方程模型之间的内在联系和本质差别，从而更好地揭示肺结核的传播机制。事实上，带有空间扩散和年龄结构的模型已经

12、在种群模型方面做过研究24-26，但关于传染病模型还没有相关的研究成果，目前这方面的结果亟待丰富和发展。Gurtin24首先提出了一个将扩散项引入到年龄结构种群模型，假设出生函数是常数。对于出生函数是非常数的情况，直到1988年才由Ndiaye25研究，他采用分离变量法和半群方法得到模型解的存在性，但解的正则性和正性并没有讨论。Nakoulima等在26中考虑了一个具有空间扩散和年龄依赖的非线性种群模型，利用粘性消去法和Leray-Schauder不动点定理研究了模型的抛物正则性、解的存在性、唯一性和正性。上述模型都属于二阶抛物问题，具有更加丰富和复杂的动力学行为。肺结核的传播具有空间特征和年

13、龄结构，如何建立并分析具有空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型呢？这类模型将更加符合实际，所得到的动力学性态将会有更加实际的指导作用。传染病模型与种群模型相比，建模时考虑的变量增多，所建立模型的维数增加，从而用于研究种群模型的一些方法和理论不再适用。首先需要解决的问题就是如何确定模型的基本再生数，然后分析模型的阈值现象，给出模型行波解及最小波速的存在性等问题。这些问题的解决将更好的帮助我们去认识和控制肺结核的传播。最后，肺结核作为传染病的一种，其建模的思想及其稳定性分析方法可用于研究其他具有相似特征的传染病，例如麻疹、霍乱、HIV和孢疹病毒等。该项目通过对所建立模型的Lyapunov稳定性研究

14、，总结出构造Lyapunov函数的框架性方法，拓宽Lyapunov-LaSalle不变性原理的应用范围。获得反应扩散的传染病模型、年龄结构的传染病模型和具有空间扩散和年龄结构的传染病模型的一系列简单有效的平衡点稳定性判定准则，从而发展这几类方程的一些相关基本理论和研究方法。1.3 本项目研究宗旨空间扩散及年龄年龄的肺结核动力学的建模及分析，理论上，系统地发展具有空间扩散和年龄结构模型的理论和方法，促进这几类方程一些相关基本理论和研究方法的发展；实践上，揭示我国肺结核病流行规律及发展趋势；应用方面，肺结核的建模思想和分析方法适合研究其他具有相似特征的传染病，具有广泛的应用性。该项目的研究不仅将发

15、展和完善传染病模型研究的理论和方法，而且为肺结核等传染病的防控提供理论依据，因而具有丰富的理论和实际意义。主要参考文献：1 2 Zhang JH, Li Y, Zhang XA. Mathematical modeling of tuberculosis data of China, J. Theor. Biol., 36: 159-163, 2015.3 Hoa NP, Chuc NTK, Thorson A. Knowledge, attitudes, and practices about tuberculosis and choice of communication channels in a rural community in Vietnam, Health policy, 90（1）: 8-12, 2009.4 World Health Organization. Global Tuberculosis Report 2012. World Health Organization, Geneva, Switze