1、动物体重(g)心率(次/分)田鼠25670家鼠200420兔2000205小狗5000120大狗3000085羊5000070人7000072马450000382 问题分析 从问题的提出可以看到,对于热血动物来说,消耗能量与全身血流量成正比,体温从体表散失,于是有:体表散热率=心跳产热率。由常识可知:心脏体积动物体积, 体重体积3 模型假设1. 假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量,全部热量都用来维持体温;2. 假设动物(包括人)的体积完全与长度成正比,动物(包括人)的表面积完全与长度成正比;3. 假设外界环境是保持恒定的,不会出现使体温变化很大的环境因素;4. 假定动物(包括人)
2、体表的散热率完全恒等于心跳的产热率;5. 假定心脏体积与动物(包括人)的体积成正比,体积与重量成正比; 4 符号说明符号说明 V动物(包括人)的体积 S动物(包括人)的表面积 L动物(包括人)的长度 P动物(包括人)的心率G动物(包括人)的体重K表面积S与体积V之间的比例系数体表散热率与表面积S之间的比例系数心脏体积与动物体积V的比例系数体积V与体重G之间的比例系数K 心率P与体重G之间的比例系数5 模型的建立与求解 5.1 模型的建立由数学知识可知:体积V正比于长度的立方,表面积S正比于长度的平方,于是有 , 则有 由体表散热率=心跳产热率,求得:体表散热率 由心脏体积正比于动物的体积得,令
3、心率为 ,心脏体积所以心跳产热率 则由()()得: 由体重和体积成正比得,令体重为,有 整理化简得 即 式即为建模所要求的最后结果公式5.2 模型的求解由(5)式可以用MATLAB画出其散点图,如图表1图表 1图表 2由上图可以看出,题目中所给数据是一系列离散的点,要通过将目标函数进行一定变形才能更清晰的看出其变化趋势。所以,对其两边同时取对数可得: lgP=lg*G(-)即lgP=lgK-lgG令y=lgP,x= lgG,a= lgK得:y=a-x则数据x,y满足线性关系y=a-x利用最小二乘法直线拟合,当所测各y值与拟合直线上的a+bx之间的偏差的平方和最小,即 Q=最小此时所的系数a最好
4、,拟合公式即为最佳经验公式解方程的 a=3.2631 K=10=1.832810 P=K*G=1.832810*G用MATLAB做出图像如图标3,与原图像比较图表 36.模型的评价6.1 模型的优点:1. 利用Mtalab软件编程进行求解,所得的结果数据准确、合理。2. 只考虑动物在休息状态,没有其他活动时的产热与散热,简化问题,便与分析求解。6.2模型的缺点:1. 在建立模型时,假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量,忽略了其他的热量散失方式。2. 没有考虑外界气温的变化。3. 在建立模型时,假设动物表面积、体积与长度成正比,求解比较粗略。4. 假设心脏体积与动物体积成正比,没有考
5、虑特殊情况。7模型推广通过对动物体重与心率这个动物模型的研究,可以通过进一步优化,结合实际医疗问题,预防心脏病,降低心脏病的发病率。例如通过有意识地控制体重,从而有助于更方便、更有效地认识人类心脏病的发生、发展规律和研究防治措施。参考文献1姜启源,数学模型,第三版2 百度附录 p=670 420 205 120 85 70 72 38; %不同动物的心率 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000; %不同动物的体重 figure(1);plot(G,p,o) %绘制动物的体重与心率散点图 figure(2);loglog(G,p,ro) %在对数坐
6、标中绘制动物的体重与心率散点图p=670 420 205 120 85 70 72 38; x=log10(G);y=log10(p); x1=(sum(x)/8;X1=(sum(x.2)/8;X2=(x1)2;y1=(sum(y)/8; xy=(sum(x.*y)/8; a=(xy*(x1)-(X1)*y1)/(X2-X1) %用最小二乘法计算常数项a的值 a =3.2631 k=10a % 将a转化为k的值 k =1.8328e+003 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000; p=670 420 205 120 85 70 72 38; k=10a ; g=20:10:450000; P=k*g.(-1/3); loglog(G,p,go) hold on loglog(g,P,b) % 拟合图像7
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