1、多少张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的?分析 除去大、小鬼还有52张牌,其中4种花色各13张.运气最好的情况下所取的5张牌都是同一花色的,哪运气不佳时至少要取多少张牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢?假设 假定至少要取张,才能保证一定有5张牌的花色是一样的.模型 逆向地思维解析 在运气最不好的情况下,每种花色各4张,再加大、小鬼2张,共取18张是保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。 所以 张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的. 检验 在很多情况下采用逆向地思维,可以使解题思路清晰、便捷.练习题 公园里准备对300棵珍稀树木依次从1300进行编号,问所有的编号中“1”共会出现的几
2、次?【2】一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑,猫便紧追。猫的步子大,它跑5步的路程,老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快,猫跑2步的时间,老鼠能跑3步。请问:按照这种速度,猫能追得上老鼠吗?如果能,它要跑多少步才能追到。 假设 此题两问可归结为一个问题:假定猫跑步就能追上老鼠 模型 猫与老鼠之间频率的最小公倍数解析 由频率关系可知,老鼠跑步时,猫跑了步.根据路程关系知,猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程 可得本题的数学模型为 解得(步) 检验 由此可见,按照现有速度,猫要跑60步才能追得上老鼠. 现有玩具模型20个,交给小黄加工,规定加工合格一个可得5元,不合格一个扣2元,未完成的不得
3、不扣.最后小黄共得到56元.问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几个?【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示),小傅就想了,警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路?分析 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.假设 (1)每条线路都有往返双向线(2)设4条路分别为A,B,C,D; (3)以A为起始,如允许原路调头,则有如不允许原路调头,则有模型 分步乘法计数原理解析 第一步:始线路条数;第二步:终线路条数。如允许原路调头:则(种可能)如不允许原路调头,则(种可能)检验 如果允许汽车原路调头,那么在此交通路口共有16种不同的行车情况;如果不允许汽车原路调头,那么在此交通路口共有12
4、种不同的行车情况。铁路京广线(北京广州)共有36个大站,问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车票?【4】杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额,现在有个问题要请教一下,数字号码为浙A 的汽车牌照共有多少块?分析 由条件知,问题为三个中各可以填入多少种数字或字母假设 假定按要求的汽车牌照共有种可能,且在第个中共有种字符可以填写.根据汽车牌照的特点,在每个中可以填入10共10个阿拉伯数字和A,B,C,D,26个英语字母,即模型 分步乘法计数原理.解析 因为各中填入的字符数符合 故=46656检验 数字号码为浙A 的汽车牌照共有46656块。不难发现,无论B和5在何位置,所得结论不变.
5、出租车在开始10千米以内收费10.4元,以后每走1千米,收费1.6元,问走20千米需收多少钱?【5】把20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人,要求每人最少分3个,可以有多少种不同的分法?假设 先取9个苹果,平均每人3个,剩下的11个再按不同情况讨论.模型 排列数公式解析 可以有 : 15种不同种类,对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序,用排列数公式即可求解. 对(11,0,0),(9,1,1),(7,2,2),(5,5,1),(5,3,3)五类,各类可以有3种次序排法,故共有15种分发法.对其余的10类,各类可以有6()种次序排法,故共有60种分发法检验 所以按要求可以有75种不同的分法
6、.一个立方体随意翻动,每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同,那么这个立方体的颜色至少有几种?【6】有243颗外形一模一样的珠子,其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码的天平,至少称几次才能找出这颗珠子来?分析与假设 将243颗珠子平均分成3份,每份81颗,任取其2份放置在天平两边,若平衡则稍重的一颗在另1份中;若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中. 在找出含有稍重珠子的一份中(含81颗),再将其81颗珠子平均分成3份,每份27颗,任取其2份放置在天平两边,若平衡则稍重的一颗在另1份中;在找出含有稍重珠子的一份中(含27颗),再将其27颗珠子平均分成3份,每份3颗,任取其2份放置在天平两边,若平衡
7、则稍重的一颗在另1份中;在找出含有稍重珠子的一份中(含1颗),再将其3颗珠子平均分成3份,每份1颗,任取其2颗放置在天平两边,若平衡则另1颗稍重的一颗;若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的1颗.模型 “三分法”解析 按“分析与假设”所述可知,至少称4次才能找出这颗珠子来.检验 此题的关键是珠子的颗数243,可以平均分成3份,每份81颗,而81又可以平均分成3份,每份27颗,而27又可以平均分成3份,每份3颗,而3可以平均分成3份,每份1颗,最后找出异样的珠子. 小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯,用来布置教室,可是其中有只小灯泡坏了,这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗
8、?【7】水果店进了十筐苹果,每筐10个,共100个,每筐里的苹果重量都一样,其中有九筐每个苹果的重量都是1斤,另一筐中每个苹果的重量都是0.9斤,但是外表完全一样,用眼看或用手摸无法分辨。现在要你用一台普通的大秤一次把这筐重量轻的找出来。你可以办到么?分析与假设 普通的大秤上是有刻度,可以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号 并取与标号对应的苹果数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,共计55个,再用所给的大枰称得这55个苹果的总重量 若此55个苹果重量均为1斤(理想状态),则总重量应为55斤,由题目条件知其中某一框苹果重量均为0.9斤,假定为第框时,那么所取苹果数为个,大枰称得
9、总重量就要比55斤少两.模型 等差数列的求和解析 利用框数与所取苹果数的对应关系,考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果的总重量之间的差按“分析与假设”所述可解得.若大枰称得总重量为54斤3两,比55斤差7两,即得框号为的这框苹果重量为0.9斤.某单位某月112日安排甲、乙、丙三人值夜班,每人值班4天.要求三个人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班,乙9、10日值夜班,问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间,最多有几天不用值夜班?【8】甲、乙两人去沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可带一个人4天的食物和水。如果允许将部分食物存放于途中,其中1人最远可深入沙漠多少千米?
10、(要求最后两人返回出发点) 分析与假设 要使其中一位探险者尽可能走得远,另一位须先回,留下食物和水给另一位,所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水? 经过商议让甲走得更远(最远走千米,但回程就没有食物和水了),需要乙在适当的地点留小足够的食物和水.第1天乙在10千米处留下1份食物和水,到20千米处吃1份留下1份,第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返,到20千米处再吃1份,第3天走20千米回出发点.第1天甲20千米处吃1份,第2天走到40千米处吃1份,第3天走到60千米处吃1份,第4天走到65千米处然后往回返,到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完),第5天走到30千
11、米处吃1份(此处食物和水是乙留下的),第6天走到10千米处吃1份,然后回出发点模型 错位推进法解析 所谓“错位推进法”对于本题来说,关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”,根据分析与假设推知结论其中的1位沙漠探险家最多可深入沙 漠65千米.检验 从“第6天走到10千米处吃1份,然后回出发点”,感觉似乎还有10千米可以走,但已经回出发点了. 考虑一下甲是否还可以再往前推进5千米呢? 在一排10个花盆中种植3种不同的花卉,要求每3个相邻的花盆中所种的花的品种各不相同,问共可有多少种不同的种植方法?【9】家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水. 分析
12、 从5升的满水壶倒出2升即可得到3升的水,问题是如何使6升的水壶空出2 升的空间(即得到4升水),问题是如何使5升的水壶空出1升的空间(即得到4升水),问题是如何使6升的水壶空出1升的空间(即得到5升水),此问题不难解决.假设 由上分析可以如下操作:1将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中,在6升的水壶中得到1升的空间.2用5升水壶取满水,倒满6升水壶中的1升空间,此时的5升水壶空出了1升的空间.3将5升水壶中的4升水倒进6升的空水壶,在6升水壶中的得到2升的空间.4用5升水壶取满水,倒满6升水壶中的2升空间,.此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了.模型 逆向推理综合法解析 按分析及假设即
13、可将问题解决,得到3升的水.检验 逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法,用途非常广泛. 练习题 某盐溶液的浓度为20%,加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水,问溶液的浓度为多少?【10】箱子里放着一箱梨,第一个人拿了梨总数的一半又多半只,第二个人拿了剩下梨的一半又多半只,第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只,第四个人3拿了第三次剩下的一半又多半只,第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。这时箱子里的梨正好拿完,而且每人手里的梨都没有半只的,请问箱子里原来有多少只梨?假设 假定箱子里原来有只梨,则有条件第一个人拿梨数:;第二个人拿梨数:第三个人拿梨数:第四个人拿梨数:第五个人拿梨数:模型 解一元一次方程解析 解方程检验 按题意验证当箱子里原来有31只梨时,题目条件符合. 去年某种货物的进价为15元/公斤,今年该货物的进口量增加了一半,进口价增加了20%,问今年该货物的进口价是多少?第二关:初识数学建模【11】暑假里,班里共30名学生,其中有姓赵、姓钱、姓孙、姓李、姓周各6位,为了进行社
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