1、二次函数图像与系数关系含答案二次函数图像与系数关系一选择题(共9小题)1(2013义乌市)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:当x3时,y0;3a+b0;1a;3n4中,正确的是()ABCD考点:二次函数图象与系数的关系4946047专题:计算题;压轴题分析:由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项作出判断;根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;根据两根之积=3,得
2、到a=,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围;把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围解答:解:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),对称轴直线是x=1,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),根据图示知,当x3时,y0故正确;根据图示知,抛物线开口方向向下,则a0对称轴x=1,b=2a,3a+b=3a2a=a0,即3a+b0故错误;抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(1,0),(3,0),13=3,=3,则a=抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),2c3,1,即1a故正确;根据题意知,a=,=
3、1,b=2a=,n=a+b+c=c2c3,c4,即n4故错误综上所述,正确的说法有故选D点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定2(2013烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=1,且过点(3,0)下列说法:abc0;2ab=0;4a+2b+c0;若(5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1y2其中说法正确的是()ABCD考点:二次函数图象与系数的关系4946047专题:压轴题分析:根据图象得出a0,b=2a0,c0,即可判断;把x=2代入抛物线的解析式即
4、可判断,求出点(5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x1时,y随x的增大而增大即可判断解答:解:二次函数的图象的开口向上,a0,二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,c0,二次函数图象的对称轴是直线x=1,=1,b=2a0,abc0,正确;2ab=2a2a=0,正确;二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=1,且过点(3,0)与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),把x=2代入y=ax2+bx+c得:y=4a+2b+c0,错误;二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,点(5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x1时,y随x的增大
5、而增大,3,y2y1,正确;故选C点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力3(2013十堰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(1,0)下列结论:ab0,b24a,0a+b+c2,0b1,当x1时,y0,其中正确结论的个数是()A5个B4个C3个D2个考点:二次函数图象与系数的关系4946047专题:压轴题分析:由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定正确;由抛物线与x轴有两个交点得到b24ac0,又抛物线过点(0,1),得出c=1,由此判定正确;由抛物线过点(1,0),得
6、出ab+c=0,即a=b1,由a0得出b1;由a0,及ab0,得出b0,由此判定正确;由ab+c=0,及b0得出a+b+c=2b0;由b1,c=1,a0,得出a+b+ca+1+12,由此判定正确;由图象可知,当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时,函数值y0,由此判定错误解答:解:二次函数y=ax2+bx+c(a0)过点(0,1)和(1,0),c=1,ab+c=0抛物线的对称轴在y轴右侧,x=0,a与b异号,ab0,正确;抛物线与x轴有两个不同的交点,b24ac0,c=1,b24a0,b24a,正确;抛物线开口向下,a0,ab0,b0ab+c=0,c=1,a=b1
7、,a0,b10,b1,0b1,正确;ab+c=0,a+c=b,a+b+c=2b0b1,c=1,a0,a+b+c=a+b+1a+1+1=a+20+2=2,0a+b+c2,正确;抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(1,0),设另一个交点为(x0,0),则x00,由图可知,当x0x1时,y0,错误;综上所述,正确的结论有故选B点评:本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,难度适中二次函数y=ax2+bx+c(a0),a的符号由抛物线开口方向决定;b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定;抛物线与x轴的交点个数,决定了b24ac的符号,此外还
8、要注意二次函数与方程之间的转换4(2012沙坪坝区模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是()Aabc0Ba+cbCb2aD4a2bc考点:二次函数图象与系数的关系;二次函数与不等式(组)4946047专题:压轴题分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断解答:解:A、图象开口向下,a0,与y轴交于正半轴,c0,对称轴在y轴左侧,0,b0,abc0,故本选项错误;B、当x=1时,对应的函数值y0,即ab+c0,a+cb,故本选项错误;C、抛物线的对称轴
9、为直线x=1,又a0,b2a,故本选项正确;D、当x=2时,对应的函数值y0,即4a2b+c0,4a2bc,故本选项错误故选C点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与不等式的关系,难度中等5(2013鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象中,观察得出了下面五条信息:ab0;a+b+c0;b+2c0;a2b+4c0;你认为其中正确信息的个数有()A2个B3个C4个D5个考点:二次函数图象与系数的关系4946047专题:压轴题分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对
10、称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断解答:解:如图,抛物线开口方向向下,a0对称轴x=,b=a0,ab0故正确;如图,当x=1时,y0,即a+b+c0故正确;如图,当x=1时,y=ab+c0,2a2b+2c0,即3b2b+2c0,b+2c0故正确;如图,当x=时,y0,即ab+c0a2b+4c0,故正确;如图,对称轴x=,则故正确综上所述,正确的结论是,共5个故选D点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定6(2013德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,
11、有以下结论:b24c0;b+c+1=0;3b+c+6=0;当1x3时,x2+(b1)x+c0其中正确的个数为()A1B2C3D4考点:二次函数图象与系数的关系4946047专题:压轴题分析:由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b24c0;当x=1时,y=1+b+c=1;当x=3时,y=9+3b+c=3;当1x3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+cx,继而可求得答案解答:解:函数y=x2+bx+c与x轴无交点,b24c0;故错误;当x=1时,y=1+b+c=1,故错误;当x=3时,y=9+3b+c=3,3b+c+6=0;正确;当1x3时,二次函数值小于一次函数值,x2+bx+c
12、x,x2+(b1)x+c0故正确故选B点评:主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用7(2012天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(1,0),(3,0)对于下列命题:b2a=0;abc0;a2b+4c0;8a+c0其中正确的有()A3个B2个C1个D0个考点:二次函数图象与系数的关系4946047专题:压轴题分析:首先根据二次函数图象开口方向可得a0,根据图象与y轴交点可得c0,再根据二次函数的对称轴x=,结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出的正误;根据对称轴公式结合a的取值可判定出b0,根据a、b、c的正负即可判断出的正误;利用ab+c=0,求出a2b+4c0,再利用当x=4时,y0,则16a+4b+c0,由知,b=2a,得出8a+c0解答:解
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