1、(1)定义:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。(2)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。(3)三角形三条边的垂直平分线的性质:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.2、垂直平分线的判定线段的中线并且垂直于这条线段四、三角形全等1、全等三角形的判定(1)定理:三边分别相等的两个三角形全等.(SSS)(2)定理:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(SAS)(3)定理:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(ASA)(4)定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 等.(AAS)(5)定理:斜边和一条直角边
2、分别相等的两个直角三角形全等.(HL)2、全等三角形的性质全等三角形对应边相等、对应角相等.五、相似三角形 1定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫相似三角形2相似比定义:相似三角形对应边的比3相似三角形的判定(1)对应边相等,对应角成比例。(2)两角对应相等的两个三角形相似。AA(3)两角对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。SAS(4)三边对应成比例的两个三角形相似。SSS4相似三角形的性质:对应角相等,对应边成比例。5、相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。 六、勾股定理(1)若三角形三边长,满足,那么这个三角形是直角三角形三角形(2)若,时,以,为三边的三角形是三
3、角形;(3)若,时,以,为三边的三角形是三角形;(4)用含字母的代数式表示组勾股数: (为正整数); (为正整数) (,为正整数)七、等腰三角形 1、等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角相等(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),(3)等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3、等腰三角形的判定:(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。(2)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等八、等边三角形1、等边三角形:
4、三边都相等的三角形叫做等边三角形。2、等边三角形的性质:(1)具有等腰三角形的所有性质。(2)等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60。3、等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形。(2):三个角都相等的三角形是等边三角形(3):有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。九、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余.在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.(3)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。2、直角三角形的判定有两个角互余的三角形是直角三角形.如果三角形两边的平方
5、和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.十、平行四边形1、平行四边形的性质平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.平行四边形的对角线互相平分.(4)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.2、平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.十一、特殊平行四边形菱形1、菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形(1)是平行四边形;(2)一组邻边相等 2、菱形的性质:具有平行四边形的所有性质。还有以下个性:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形
6、的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角;(3)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形。3、菱形的判定 (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件: 是一个平行四边形; 两条对角线互相垂直 (2)四边都相等的四边形是菱形 矩形1、矩形定义:有个一角是直角的平行四边形叫做矩形 (1)矩形是特殊的平行四边形;(2)有一个角是直角2、矩形的性质:具有平行四边形的所以性质。性质1 矩形的四个角都是直角;性质2 矩形的对角线相等。矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形。3、矩形的判定:(1)有一个角是直角的平行四边形叫矩形(定义法)(2)对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形 注意此
7、方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)对角线相等 (3)都是直角的四边形是矩形(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。正方形1、正方形的定义:有一组对边直平行且相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。注意:1、正方形概念的三个要点:(1)是平行四边形;(2)有一组邻边相等;(3)有一个角是直角强调:正方形是在平行四边形的前提下定义的,它包含两层意思:有一组邻边相等的平行四边形(菱形),有一个角是直角的平行四边形(矩形)。说明:正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2、正方形的性质:具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质:(1)边:两组对边平行且相等;
8、(2)角:四个角都是直角;(3)对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角(4)正方形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;(5)正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线,共有四条对称轴; 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45; 正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质 3、正方形的判定方法:(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;(2)对角线互相垂直的矩形是正方形;(3)有一个角是直角的菱形是正方形;(4) 对角线相等的菱形是正方形.要确定一个四边形是正方形,应先确定它是矩形或是菱形,然
9、后再加上相应的条件,确定是正方形.十二、梯形1、梯形的定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、等腰梯形定义:两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。3、直角梯形定义:一条腰和底边垂直梯形叫做直角梯形。4、等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个角相等,对角线相等。6、等腰梯形的判定:同一同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。十三、三角形高,中线,角平分线,中位线三角形的角平分线1、定义:在三角形中,一个角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。2、性质:三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的部。三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的
10、线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的部。三角形的高线:从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的部;直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点;钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部;三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.3、由三角形的三条中位线,可以得出以下结论:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半;三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;三条中位
11、线将三角形划分出三个面积相等的平行四边形.十四、三角形角和,补角,余角,外角1、三角形的角的关系:三角形三个角和等于180直角三角形的两个锐角互余。2、余角、补角和对顶角(1)余角:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角。同角或等角的余角相等。(2)补角:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角。同角或等角的补角相等。(3)对顶角: 定义:我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。对顶角的性质:对顶角相等。3、外角三角形的一个外角等于它不相邻的两个角之和。十五、多边形的角和与外角和定理:边形的角和等于180.多边形的外角和都等于360备注:n边形共有条对角线.
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