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1、k表示在这n个样本点中,有k个点落入区域中.我们可以看到是样本点相对于点的偏移向量,（1）式定义的Mean Shift向量就是对落入区域中的k个样本点相对于点的偏移向量求和然后再平均.从直观上看,如果样本点从一个概率密度函数中采样得到,由于非零的概率密度梯度指向概率密度增加最大的方向,因此从平均上来说, 区域内的样本点更多的落在沿着概率密度梯度的方向.因此,对应的, Mean Shift向量应该指向概率密度梯度的方向. 图1,Mean Shift示意图如上图所示, 大圆圈所圈定的范围就是,小圆圈代表落入区域内的样本点,黑点就是Mean Shift的基准点,箭头表示样本点相对于基准点的偏移向量,

2、很明显的,我们可以看出,平均的偏移向量会指向样本分布最多的区域,也就是概率密度函数的梯度方向.扩展的Mean Shift核函数首先我们引进核函数的概念.定义:代表一个d维的欧氏空间,是该空间中的一个点,用一列向量表示. 的模.表示实数域.如果一个函数存在一个剖面函数,即（3）并且满足:（1） 是非负的.（2） 是非增的,即如果那么.（3） 是分段连续的,并且那么,函数就被称为核函数.举例:在Mean Shift中,有两类核函数经常用到,他们分别是,单位均匀核函数: （4）单位高斯核函数: （5）这两类核函数如下图所示.图2, （a） 单位均匀核函数 （b） 单位高斯核函数一个核函数可以与一个均

3、匀核函数相乘而截尾,如一个截尾的高斯核函数为,（6）图 3 显示了不同的值所对应的截尾高斯核函数的示意图.图3 截尾高斯核函数 （a） （b） Mean Shift扩展形式从（1）式我们可以看出,只要是落入的采样点,无论其离远近,对最终的计算的贡献是一样的,然而我们知道,一般的说来,离越近的采样点对估计周围的统计特性越有效,因此我们引进核函数的概念,在计算时可以考虑距离的影响;同时我们也可以认为在这所有的样本点中,重要性并不一样,因此我们对每个样本都引入一个权重系数.如此以来我们就可以把基本的Mean Shift形式扩展为: （7）其中:是一个单位核函数是一个正定的对称矩阵,我们一般称之为带宽

4、矩阵是一个赋给采样点的权重在实际应用的过程中,带宽矩阵一般被限定为一个对角矩阵,甚至更简单的被取为正比于单位矩阵,即.由于后一形式只需要确定一个系数,在Mean Shift中常常被采用,在本文的后面部分我们也采用这种形式,因此（7）式又可以被写为: （8）我们可以看到,如果对所有的采样点满足（1）（2） 则（8）式完全退化为（1）式,也就是说,我们所给出的扩展的Mean Shift形式在某些情况下会退化为最基本的Mean Shift形式.Mean Shift的物理含义正如上一节直观性的指出,Mean Shift指向概率密度梯度方向,这一节将证明Mean Shift向量是归一化的概率密度梯度.在

5、本节我们还给出了迭代Mean Shift算法的详细描述,并证明,该算法会收敛到概率密度函数的一个稳态点.概率密度梯度对一个概率密度函数,已知d维空间中n个采样点,i=1,n, 的核函数估计（也称为Parzen窗估计）为,（9）其中是一个赋给采样点的权重是一个核函数,并且满足我们另外定义:核函数的剖面函数,使得（10）;的负导函数,即,其对应的核函数 （11）概率密度函数的梯度的估计为:（12）由上面的定义, ,上式可以重写为（13）上式右边的第二个中括号内的那一部分就是（8）式定义的Mean Shift向量,第一个中括号内的那一部分是以为核函数对概率密度函数的估计,我们记做,而（9）式定义的我

6、们重新记做,因此（11）式可以重新写为:（14）由（12）式我们可以得出,（15）（15）式表明,用核函数G在点计算得到的Mean Shift向量正比于归一化的用核函数K估计的概率密度的函数的梯度,归一化因子为用核函数G估计的x点的概率密度.因此Mean Shift向量总是指向概率密度增加最大的方向.Mean Shift算法算法步骤我们在前面已经指出,我们在提及Mean Shift向量和Mean Shift算法的时候指代不同的概念,Mean Shift向量是名词,指的是一个向量;而Mean Shift算法是动词,指的是一个迭代的步骤.我们把（8）式的提到求和号的外面来,可以得到下式,（16）我

7、们把上式右边的第一项记为,即（17）给定一个初始点,核函数, 容许误差,Mean Shift算法循环的执行下面三步,直至结束条件满足,（1）.计算（2）.把赋给（3）.如果,结束循环;若不然,继续执行（1）.由（16）式我们知道, ,因此上面的步骤也就是不断的沿着概率密度的梯度方向移动,同时步长不仅与梯度的大小有关,也与该点的概率密度有关,在密度大的地方,更接近我们要找的概率密度的峰值,Mean Shift算法使得移动的步长小一些,相反,在密度小的地方,移动的步长就大一些.在满足一定条件下,Mean Shift算法一定会收敛到该点附近的峰值,这一收敛性由下面一小节给出证明.算法的收敛性证明我们

8、用,来表示Mean Shift算法中移动点的痕迹,由（17）式我们可写为, （18）与对应的概率密度函数估计值可表示为, （19）下面的定理将证明序列和的收敛性.定理:如果核函数有一个凸的,单调递增的剖面函数,核函数由式（10）和（11）定义,则序列和是收敛的.证明:由于n是有限的,核函数,因此序列是有界的,所以我们只需要证明是严格递增的的,即要证明,对所有j=1,2,如果,那么（20）不失一般性,我们可以假设,由（19）式和（10）式,我们可以得到 （21）由于剖面函数的凸性意味着对所有且,有（22）因为,上式可以写为,（23）结合（21）与（23）式,可以得到,（24）由（18）式我们可以

9、得出,（25）由于剖面函数是单调递减的,所以求和项,因此,只要 （25）式的右边项严格大于零,即.由此可证得,序列收敛为了证明序列的收敛性,对于,（25）式可以写为（26）现在对于标号j,j+1,j+m-1,对（26）式的左右两边分别求和,得到 （27）其中表示对应序列的所有求和项的最小值.由于收敛,它是一个Cauchy序列,（27）式意味着也是一个Cauchy序列,因此,序列收敛.Mean Shift的应用从前面关于Mean Shift和概率密度梯度的关系的论述,我们可以清楚的看到,Mean Shift算法本质上是一个自适应的梯度上升搜索峰值的方法,如下图所示,如果数据集服从概率密度函数f（

10、x）,给定一个如图初始点,Mean Shift算法就会一步步的移动,最终收敛到第一个峰值点.从这张图上,我们可以看到Mean Shift至少有如下三方面的应用:（1）聚类,数据集中的每一点都可以作为初始点,分别执行Mean Shift算法,收敛到同一个点算作一类;（2）模态的检测,概率密度函数中的一个峰值就是一个模态,Mean Shift在峰值处收敛,自然可以找到该模态.（3）最优化,Mean Shift可以找到峰值,自然可以作为最优化的方法,Mean Shift算法进行最优化的关键是要把最优化的目标转化成Mean Shift隐含估计的概率密度函数.图4.Mean Shift算法示意图Mean

11、 Shift算法在许多领域获得了非常成功的应用,下面简要的介绍一下其在图像平滑,图像分割以及物体跟踪中的应用,一来说明其强大的生命力,二来使对上文描述的算法有一个直观的了解.图像平滑与分割一幅图像可以表示成一个二维网格点上p维向量,每一个网格点代表一个象素,表示这是一个灰度图,表示彩色图,表示一个多谱图,网格点的坐标表示图像的空间信息.我们统一考虑图像的空间信息和色彩（或灰度等）信息,组成一个维的向量,其中表示网格点的坐标,表示该网格点上p维向量特征.我们用核函数来估计的分布, 具有如下形式,（28）其中控制着平滑的解析度,C是一个归一化常数.我们分别用和,i=1,n表示原始和平滑后的图像.用Mean Shift算法进行图像平滑的具体步