数学建模灰色理论Word格式文档下载.docx

1、6.2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。6.2.4灰色系统理论的主要内容 灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的

2、模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色关联分析灰色统计灰色聚类6.3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。6.3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为，其数据见下表：序号1234符号数据将上表数据作图得上图表明原始数据没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为,并且

3、得到数据如下表所示4.57.5上图表明生成数列X是单调递增数列。6.3.2灰色系统预测模型建立1. 数列预测GM（1，1）模型灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm（1，1）建模过程和机理如下：记原始时间序列为：记原始数据序列为非负序列其中， 其相应的生成数据序列为为的紧邻均值生成序列称为Gm（1,1）模型，其中，b是需要通过建模求解的参数，若为参数列，且， 则求微分方程的最小二乘估计系数列，满足 称为灰微分方程，的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1.白化方程的解或称时间响应函数为2.G

4、m（1,1）灰微分方程的时间响应序列为3.取，则4.还原值2. 系统综合预测GM（1，N）模型P1346.4灰色系统模型的检验定义1.设原始序列相应的模型模拟序列为残差序列 相对误差序列 1.对于kn,称为k点模拟相对误差，称为滤波相对误差，称为平均模拟相对误差； 2.称为平均相对精度，为滤波精度； 3.给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。定义2 设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为与的绝对关联度，若对于给定的，则称模型为关联合格模型。定义3设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为残差序列。为的均值，为的方差，为残差均值，为残差方差，1.称为均方差比值；对于给定的，当时，称模型为均方差比

5、合格模型。2.称为小误差概率，对于给定的,当时，称模型为小误差概率合格模型。精度检验等级参照表指标临界性精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.50三级0.100.700.65四级0.200.60一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。6.5应用举例例6-1建立Gm（1,1）模型，并进行检验。解：1）对作1-AGO，得D为的一次累加生成算子，记为1-AGO，A cumulated Generating Operator2）对作紧邻均值生成，令于是，3）确定模型及时间响应式4）求的模拟值 =（2.8740,6.1058,9.4599,

6、12.9410,16.5538）5）还原出的模拟值，由得 =（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）误差检验实际数据模拟数据残差3.2783.23180.04621.41%3.3373.3541-0.01710.51%3.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%残差平方和=0.0151085平均相对误差 =1.0625%计算X与的灰色关联度=1.7855=1.8144=0.04535 =0.99020.90精度为一级，可以用预测。例6-2某大型企业1997-2000年四年产值资料年份19971998199200

7、0产值（万元）27260295473241135388试建立Gm（1,1）模型的白化方程及时间响应式，并对Gm（1,1）模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。设时间序列为 =（27260，29547，62411，35388）对参数列作最小二乘估计，得设由于可得Gm（1,1）模型的白化方程其时间响应式为由此得模拟序列 =（27260，29553，32336，35381）检验：残差序列为 =（0，-6，75，7）模拟误差，精度一级计算与的灰色关联度=11502=11429.5 =72.5精度为一级计算均方差比所以，均方差比值为一级计算小误差概率所以， 小误差概率为一级，故可用进行预测，2001-2005年预测值为 =（38713，42359，46318，50712，55488）例6-3预测实例，已知某企业2001-2005年的工业总产值20012002200320042005总产值1.671.511.032.141.99建立Gm（1,1）模型的白化方程，预测2006-2015工业总产值。对作紧邻均值生成，令方程为求的模拟值 =（1.67,2.962,4.474,6.202,8.311）还原出的模拟值，由 =（1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）=0.2585=0.0885 =0.940.90精度为一级，关联度为一级，可以用进行预测。