概率论与数理统计基础公式大全汇总Word文档格式.docx

1、通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是 的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B，或者AB。A B=，则表示A与B不可能同

2、时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A（BC）=（AB）C A（BC）=（AB）C分配率：（AB）C=（AC）（BC） （AB）C=（AC）（BC）德摩根率： ， （7）概率的公理化定义设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：1 0P（A）1，2 P（） =13 对于两两互不相容的事件 ， ，有常称为可列（完全）可加性。则称P（A）为事件 的概率。（8）古典概型 ， 。设任一事件 ，它是由 组成的，则有P（A）= =（9）几何

3、概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当P（AB）0时，P（A+B）=P（A）+P（B）（11）减法公式P（A-B）=P（A）-P（AB）当B A时，P（A-B）=P（A）-P（B）当A=时，P（ ）=1- P（B）（12）条件概率定义 设A、B是两个事件，且P（A）0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概

4、率。例如P（/B）=1 P（ /A）=1-P（B/A）（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P（A1A2An-1）0，则有 。（14）独立性两个事件的独立性设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）那么A、B、C

5、相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件 满足 两两互不相容， ，则有（16）贝叶斯公式设事件 ， ， 及 满足 ， ， 两两互不相容， 0， 1，2， ， ， ，则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（ ， ， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了 次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称

6、为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， 。第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 的可能取值为Xk（k=1,2,）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为P（X=xk）=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有，则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有

7、下面4个性质：（3）离散与连续型随机变量的关系积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质： ； 是单调不减的函数，即 时，有 ； ， ；4 ，即 是右连续的；5对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布0-1分布P（X=1）=p, P（X=0）=q二项分布在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能

8、取值为 。， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 的分布律为， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P（ ）。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。均匀分布设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，b上为常数 ，即axb其他，则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为XU（a，b）。分布函数为0

9、， xb。当ax1x2b时，X落在区间（ ）内的概率为指数分布,0, ,其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为x0。记住积分公式：正态分布设随机变量 的密度函数为， ，其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。具有如下性质： 的图形是关于 对称的； 当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。（-x）1-（x）且（0） 。如果 ，则 。（6）分位数下分位表：上分位表：（7）函数分布离散型已知 的分布列为的分布列（ 互不

10、相等）如下：若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。连续型先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）P（g（X）y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件 = 的概率为pij,称为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,

11、2,）；（2）对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=（X,Y）|ab,cyx1时，有F（x2,y）F（x1,y）;当y2y1时，有F（x,y2） F（x,y1）;（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布X的边缘分布为；Y的边缘分布为X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F（X,Y）=FX（x）FY（y）有