A幻方常规解法Word下载.docx

1、152357141646132022101219213111825291双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 nn1），我们称它们为一对互补数 。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数 。2双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上

2、的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按44把它划分成kk个方阵。因为n是4的倍数，一定能用44的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。以8阶幻方为例：（1） 先把数字按顺序填。然后，按44把它分割成4块（如图）262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364（2） 每个小方阵对角线上的数字（如左上角

3、小方阵部分），换成和它互补的数。3单偶数阶幻方（象限对称交换法）以n=10为例，10422，这时k=2（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。（注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换）， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。下面是6阶幻方的填法：6412

4、，这时k14、对双偶数阶幻方的编排方法解析奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k2表示（k是自然数）。这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。一、中心对称交换法例1、用116这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把116这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列

5、、两条对角线上的四个数的和都相等。先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1231516）434。再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。 先把116按顺序填入44的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。 观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。第一列上四个数的和是1591328，比34少6；第四列上四个数的和是48121640，比34多6。为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相

6、应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。 再观察上图C的第一、第四行。第一行上四个数的和是132410，比34少24；第四行上四个数的和是1315141658，比34多24。为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即8与12，5与9）相互交换就可以了。交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。这

7、样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方？对比图A与图D可以发现：只要把图A中的2与15，3与14，5与12，8与9互相交换，就可以直接得到图D（见下图）。那么，2与15，3与14，5与12，8与9是什么关系呢？不难看出，它们的位置是“对称”的。例如2在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15在从下往上、从右往左数的第一行第二列。又如，9在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8在从下往上、从右往左数的第三行第一列。我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。

8、由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下： 把116按顺序排成四阶自然方阵； 四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数； 把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。例2、用164这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。【分析与解答】编排步骤如下: 把1至64按顺序填入88的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图） 把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角线（图中有颜色的数字）； 每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动，把对角线

9、以外的数字在八阶自然方阵中进行中心对称交换。这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。二、环形平移补空法例3、用“环形平移补空法”编排一个八阶幻方。 画一个88的八阶幻方空格（下图A的中间实线部分），并在左右两端画出凸阶梯状虚线方格（如图A所示，每向外一层上、下各减少一格）。 把1至64这六十四个数分成四组，即第一组：116，第二组：1732，第三组：3348，第四组：4964。 把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始，按顺时针方向依次排成环形（红色）；第二组的十六个数从八阶幻方的第八行第四列开始，按逆时针方向依次排成环形（蓝色）；第三组的十六个数从八阶幻方的第一行与1相隔一格开始，按顺时针

10、方向依次排成环形（深绿色）；第四组的十六个数从八阶幻方的第八行第二列开始，按逆时针方向依次排成环形（浅绿）。（见图B） 把右边凸阶梯状虚线方格中的数分别向左平移8格到相应的八阶幻方中，去掉右边凸阶梯状虚线格（图C）；把左边凸阶梯状虚线方格中的数分别向右平移8格到相应的八阶幻方中，去掉左边凸阶梯状虚线格。这样就编成了一个八阶幻方。（图D）环形平移补空法可分为：“画左、右阶梯状图”、“数字分组”、“环形填数”、“平移补空”四个步骤。一般地，当编排任意4k阶幻方时，先画一个4k4k且左、右有凸阶梯状虚线方格，再把1至（4k）2个自然数依次分成（4k2）组，如8阶就分成824组，12阶就分成1226组

11、，把第一、三、五、等组中的各数，从4k阶幻方的右上角开始，每次起点左移二格，按顺时针方向依次排成环形。再把第二、四、六、等组中的各数，从4k阶幻方的左半部分的右下角开始，每次起点左移二格，按逆时针方向依次排成环形。最后把凸阶梯状虚线方格中的各数进行平移补空，便得到一个4k阶幻方。（这种方法很难，请多练习）B偶数阶幻方填法以4阶为例，说说偶数阶的填法：首先，按顺序写下个数：接下来固定对角线上数字不动（这里是、和、），其它数字作左右对换，如与换，与换等，得到下面的排列：继续固定对角线，其他数字作上下对称变换，如与换，与换等，得到如下排列：这就是四阶幻方，每行每列四个数字之和均为，其他偶数阶幻方填法可类推！奇数阶幻方口诀1坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间。 一、奇数阶纪方的构造方法（楼梯法）。按以下规律排列剩下的n*n-1个数： 1）每一个数放在前一个数的右上一格； 2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4）如果这个数所要放