高考数学数列求和Word文档格式.docx

1、5倒序相加法：即等差数列求和公式的推导方法.6公式法（注意公式的推导）. 常用的公式有：= ； = ； 【基础训练】1、 写出等差数列an的前n项和的推导过程： 这种求和方法称为 2、写出等比数列an的前n项和的推导过程： 这种求和方法称为 3数列1, 3, 5, 7,的前n项和Sn = 4，求an前n项和Sn = .5已知，求an，前n项之和Sn = .【典型例题】例1、求下面各数列的前n项和：（1）12，23，34，45。（2）例2、 设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f （5） + f （ 4） + f （0） +f （5） + f （6）的值为.变式：求和：例3、数列

2、an的通项公式为an=n*则求Sn例4 （2006年北京海淀期中）已知数列an满足：a1 = 1，an+1 =（1）求a2，a3；（2）当n2时，求a2n2与a2n的关系式，并求数列an中偶数项的通项公式；（3）求数列an前100项中所有奇数项的和.【规律总结】1若是等差（比）数列求和问题，则直接用公式求和时，注意公式的应用范围（q = 1和q1两类）.2非等差（比）数列求和，关键在于转化为等差（比）数列求和；写出通项公式，观察通项形式与特点、或拆项或并项、或错位相减或倒序相加.3数列求和需熟练基本方法，积累一定经验.【考题链接】1（05山东文21）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等

3、比数列；（II）令，求函数在点处的导数，并比较与的大小.2、（06湖北）设数列的前n项和为，点均在函数y3x2的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。数列求和080161数列，的前n项和是 （ ）A1 B1+C1 + D12已知数列an的前n项和Sn = 1 5 + 9 13 + 17 21 +（1）n1 （4n 3），则S15 + S22 S31的值为 （ ）A3 B-76C46 D63数列an的通项an = 2n + 1，则由bn =所确定的数列bn的前n项之和是 （ ）An （n + 2） B n （n + 4）C n （n +5） D

4、 n （n +7） 4Sn =. 5已知数列an满足a1 = 1，an = a1 + 2a2 + 3a3 + （n 1） an1 （n2），则an的通项公式an = 6求和：（1）Sn =；（2）Sn = 1 + 2 3 + 3 7+n （2n 1）.7等差数列an的前n项和为Sn，且S4 = 5a2，a3 = 3. 令bn =，nN*.（1）求数列bn的通项公式；（2）求Tn = b1 + b2 +bn.8设数列an对所有正整数n都满足：a1 + 2a2 +2 2a3+2n1an = 8 5n.求数列an的前n项和Sn.1直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列求和时q = 1、q1

5、的讨论.（1）；（2）；（3）.n（n +1） （2n + 1）；=n2 （n + 1）2.【解析】Sn = a1 + a2 + an 1 + anSn = an + an 1 +a2 + a1，两式相加：2Sn = （a1 + an） + （a2 + an 1）+（an + a1）= （a1 + an）n1 得.这种求和方法称为倒序相加法.2、写出等比数列an的前n项和的推导过程：【解析】Sn = a1 + a1q +a1qn 1 qSn = a1q + a1q2 + a1qn由错位相减，得 （1 q）Sn = a1 a1qn.这种求和方法称为错位相减法3数列1, 3, 5, 7,的前n项和

6、Sn =.【解析】裂项法：S = （1 + 3 + 5 +2n 1）+（）【点评】通过裂项，将数列转化为等差、等比数列求和，这是数列求和的基本思路.4，求an前n项和Sn =.【解析】当n = 2k （kN+）时，Sn = （1 4） + （1 4） + （1 4） = 3k，当n = 2k 1 （kN*）时，Sn = S2k + 4 = 3k + 4，故Sn =【点评】并项求和. 并项后转化为易求和型.5已知，求an，前n项之和Sn =.【解析】 =【点评】拆项相消法.例2【解析】， =，设S = f （5） + f （ 4） + f （6），则S = f （6） + f （5） + f （

7、 5），2S = （f （6） + f （5） + （f （5） + f （ 4） + （f （5） + f （6） =，S = f （5） + f （ 4）+f （6） =.【点评】使用“倒序相加法”求和的题型特征是“与首末两端距离相等的两项的和都相等”. 本题中，倒序相加后，对应项的和中自变量的和都等于1，故需探求f （x） + f （1 x）的值. 拓展：设，定义fn+1 （x） = f1fn（x），an =，其中nN*.（1）求数列an的通项公式；（2）若T2n = a1 + 2a2 + 3a3 +2na2n，Qn =，其中nN*，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.（1）f1（0

8、） = 2，fn+1 （0） = f1fn（0） =，=.数列an是首项为，公比为的等比数列，.（2）+ 2na2n， + = a2 + 2a3 +（2n1）a2n na2n，= a1 + a2 +a2n+na2n =，当n = 1时，22n = 4，（2n+1）2 = 9，9T2nQn；当n=2时，22n=16，（2n+1）2 = 25，9T2nQn；当n3时，22n = （1 + 1）n2 = （）2（2n+1）2，9T2nQn.综上，当n = 1，2时，9T2nQn；当n3时，9T2nQn.【点评】数列求和中的错位相减法是最近几年高考题中常考内容，往往和解析几何、函数、不等式等知识联系较

9、多，且涉及分类讨论等思想方法，考生须熟练掌握，“错位”是为了对齐同类项，最后一项符号易错，求和时，只有部分成等比（差）数列.例4 【解析】（1）.（2），即a2n1 = a2n2 2 （2n 2）.，即.， （nN*）.（3）当n = 2k时，a2k+1 = a2k 22k （k = 1, 2, 49）.叠加可得所有奇数项的和1 2（2 + 4 +98） + a2 + a4 +a98 =.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而1数列，的前n项和是 （

10、 D ）【解析】拆项相消法，或特殊值验证法，选D.2已知数列an的前n项和Sn = 1 5 + 9 13 + 17 21 +（1）n1 （4n 3），则S15 + S22 S31的值为 （ B ）【解析】并项求和，选B.3数列an的通项an = 2n + 1，则由bn =所确定的数列bn的前n项之和是 （ C ）【解析】裂项求和，或特殊值验之，选C.二、填空题4Sn =.【解析】拆项相消法.5已知数列an满足a1 = 1，an = a1 + 2a2 + 3a3 + （n 1） an1 （n2），则an的通项公式an = .【解析】当n=1时,a1=1，当n2时，由an-an-1=（n-1）an-1，从而化成递推数列用累乘.三、解答题（1）分a =1和a1两种情况.当a = 1时，Sn = 1 + 2 + 3 +n =；当a1时，Sn =，两边同乘以，得两式相减，得即Sn =.综上所述，得Sn = （2）Sn = （1 2 1） + （2 22 2）+（n2n n）= （12+222 +n2n ） （1 + 2 +n），nnnnnnnnnnnnnnnnn令 .2，=2（2n 1） n2n+1= （n 1） 2n+12，n（n +1）.【解析】法一：（1）设等差数列 an 的公差为d，依题意得解得a1