1、E为直线l和抛物线对称轴的交点,利用D点坐标求出l表达式,令 其横坐标为,即可求出点E的坐标 (2)利用全等对应边相等,可知FO=FC,所以点F肯定在OC的垂直平分线上,所 以点F的纵坐标为-4,带入抛物线表达式,即可求出横坐标 (3)根据点P在y轴负半轴上运动,分两种情况讨论,再结合相似求解解答:(1)抛物线经过点A(2,0),D(6,8),解得抛物线的函数表达式为,抛物线的对称轴为直线又抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(2,0)点B的坐标为(8,0)设直线l的函数表达式为点D(6,8)在直线l上, 6k=8,解得直线l的函数表达式为点E为直线l和抛物线对称轴的交点点E的横坐标为3,
2、纵坐标为,即点E的坐标为(3,4)(2)抛物线上存在点F,使点F的坐标为()或()(3)解法一:分两种情况: 当时,是等腰三角形点E的坐标为(3,4),过点E作直线ME/PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则, 点M的坐标为(0,5)设直线ME的表达式为, ,解得, ME的函数表达式为,令y=0,得,解得x=15,点H的坐标为(15,0)又MH/PB, ,即, 当时,是等腰三角形当x=0时,点C的坐标为(0,8), OE=CE, ,又因为, , CE/PB设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为, ,解得, CE的函数表达式为,令y=0,得, ,点N的坐标为(6,0)CN/PB, , ,解得综上所
3、述,当m的值为或时,是等腰三角形解法二:当x=0时, ,点C的坐标为(0,8),点E的坐标为(3,4), OE=CE, ,设抛物线的对称轴交直线PB于点M,交x轴于点H分两种情况:1 当时,是等腰三角形, , CE/PB又HM/y轴,四边形PMEC是平行四边形, , HM/y轴, , 轴, , , ,轴, , 当m的值为或时,是等腰三角形2、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2+4mx5m(m0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E,与x轴相交于点D,点P在直线y=x上(不与原点重合),连接PD,过点P作PFPD交y轴于点F,连接DF(1)如图所
4、示,若抛物线顶点的纵坐标为6,求抛物线的解析式;(2)求A、B两点的坐标;(3)如图所示,小红在探究点P的位置发现:当点P与点E重合时,PDF的大小为定值,进而猜想:对于直线y=x上任意一点P(不与原点重合),PDF的大小为定值请你判断该猜想是否正确,并说明理由【考点】二次函数综合题【分析】(1)先提取公式因式将原式变形为y=m(x2+4x5),然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标,从而可求得点A、B的坐标,然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=2,故此可知当x=2时,y=6,于是可求得m的值;(2)由(1)的可知点A、B的坐标;(3)先由一次函数的解析式得到PBF的度数,然后
5、再由PDPF,FOOD,证明点O、D、P、F共圆,最后依据圆周角定理可证明PDF=60【解答】解:(1)y=mx2+4mx5m,y=m(x2+4x5)=m(x+5)(x1)令y=0得:m(x+5)(x1)=0,m0,x=5或x=1A(5,0)、B(1,0)抛物线的对称轴为x=2抛物线的顶点坐标为为6,9m=6m=抛物线的解析式为y=x2x+(2)由(1)可知:A(5,0)、B(1,0)(3)如图所示:OP的解析式为y=x,AOP=30PBF=60PDPF,FOOD,DPF=FOD=90DPF+FOD=180点O、D、P、F共圆PDF=PBFPDF=603、如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物
6、线y=ax2+1经过点A(4,3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PHl,垂足为H,连接PO(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标;(2)当P点运动到A点处时,计算:PO=5,PH=5,由此发现,PO=PH(填“”、“”或“=”);当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想;(3)如图2,设点C(1,2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由(1)利用待定系数法即可解决问题(2)求出PO、PH即可解决问题结论:PO=PH设点P坐标(m, m2+
7、1),利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题(3)首先判断PH与BC,PO与AC是对应边,设点P(m, m2+1),由=列出方程即可解决问题【解答】(1)解:抛物线y=ax2+1经过点A(4,3),3=16a+1,a=,抛物线解析式为y=x2+1,顶点B(0,1)(2)当P点运动到A点处时,PO=5,PH=5,PO=PH,故答案分别为5,5,=PO=PH理由:设点P坐标(m, m2+1),PH=2(m2+1)=m2+1PO=m2+1,PO=PH(3)BC=,AC=,AB=4BC=AC,PO=PH,又以P,O,H为顶点的三角形与ABC相似,PH与BC,PO与AC是对应边,=,设点P(m,
8、 m2+1),=,解得m=1,点P坐标(1,)或(1,)【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是记住两点之间的距离公式,学会转化的思想,用方程去解决问题,属于中考压轴题4、如图1,二次函数y=ax2+bx的图象过点A(1,3),顶点B的横坐标为1(1)求这个二次函数的表达式;(2)点P在该二次函数的图象上,点Q在x轴上,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;(3)如图3,一次函数y=kx(k0)的图象与该二次函数的图象交于O、C两点,点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TMOC,垂足为点M,且M在线段OC
9、上(不与O、C重合),过点T作直线TNy轴交OC于点N若在点T运动的过程中,为常数,试确定k的值(2)当AB为对角线时,根据中点坐标公式,列出方程组解决问题当AB为边时,根据中点坐标公式列出方程组解决问题(3)设T(m,m22m),由TMOC,可以设直线TM为y=x+b,则m22m=m+b,b=m22m+,求出点M、N坐标,求出OM、ON,根据列出等式,即可解决问题(1)二次函数y=ax2+bx的图象过点A(1,3),顶点B的横坐标为1,则有解得二次函数y=x22x,(2)由(1)得,B(1,1),A(1,3),直线AB解析式为y=2x+1,AB=2,设点Q(m,0),P(n,n22n)以A、
10、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,当AB为对角线时,根据中点坐标公式得,则有,解得或P(1+,2)和(1,2)当AB为边时,根据中点坐标公式得解得或P(1+,4)或(1,4)(3)设T(m,m22m),TMOC,可以设直线TM为y=x+b,则m22m=m+b,b=m22m+,由解得,OM=,ON=m,k=时, =当k=时,点T运动的过程中,为常数5、如图,顶点为A(,1)的抛物线经过坐标原点O,与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;(2)过B作OA的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:OCDOAB;(3)在x轴上找一点P,使得PCD的周长最小,求出P点的坐标解:(1)
11、抛物线顶点为A(,1),设抛物线对应的二次函数的表达式为ya(x)21,将原点坐标(0,0)代入表达式,得a,抛物线对应的二次函数的表达式为:yx2x;(2)将y0代入yx2x中,得B点坐标为(2,0),设直线OA对应的一次函数的表达式为ykx,将A(,1)代入表达式ykx中,得k,直线OA对应的一次函数的表达式为yx.BDAO,设直线BD对应的一次函数的表达式为yxb,将B(2,0)代入yxb中,得b2,直线BD对应的一次函数的表达式为yx2.由3得交点D的坐标为(,3),将x0代入yx2中,得C点的坐标为(0,2),由勾股定理,得:OA2OC,AB2CD,OB2OD.在OAB与OCD中,O
12、ABOCD;(3)点C关于x轴的对称点C的坐标为(0,2),则CD与x轴的交点即为点P,它使得PCD的周长最小过点D作DQy,垂足为Q,则PODQ,CPOCDQ,即,PO,点P的坐标为(,0)6、已知抛物线yx2bxc与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(4,0),B(1,0)(1)求抛物线的表达式;y=-x2-x+2(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;(-4,0)(-5,-3)(3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由E1(-1,0)E2(-7,0)E3(,0)E4(,0)(1)方法一:把A(4,0),B(1,0)分别代入yx2bxc得,解得yx2x2.方法二:A(4,0),B(1,0),设y (x4)(x1),得yx2x2;(2)存在令x0得y2,C(0,2),OC2.A(4,0),B(1,0),OA4,OB1,AB5,分两种情况当PCB90 时,方法一:在RtAOC和RtCOB中,AC2AO2OC2422220,BC2OC2OB222125.又AB25225,AC2BC2AB2,ACB是直角三角形
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