第一轮一元二次不等式及其解法详细过程Word下载.docx

1、X2）有两相等实根bx1 = XL 扃没有实数根ax2 + bx+ c0）的解集XXX2xx x1Rax + bx+ c x1x 0（a 0）的求解过程3.简单的分式不等式（l）f（）0? f（）g（）0;g （）f （） 亠丄 0? f（x） g（） 0 且 g（） 0. g （）:思考感悟ax2+ bx+ c0（a 0）对一切X R恒成立的条件是什么?【提示】a0 且 b 4ac 0的解集是（ ）1A . （-2，1） B . （1 , + ）C. （-, 1） U （2, + ） D . （-,- 2）U （1 , + ） 【解析】 I 22-X- 1 = （X- 1）（2+ 1）0,、

2、 1. 1 或 XV 故原不等式的解集为（一,-2）U（1, + ）.【答案】 DX 12.不等式 0的解集为（ ）2+ 11 1A . （ 2，1 B. xx 1 或 XV 2C. 2，1 D. xx 1 或 X-2【解析】 原不等式等价于（x 1）（2x+ 1） V 0 或 x 1 = 0.原不等式的解集为（一2, 1.【答案】 A3. （2012福建高考）已知关于X的不等式x2 ax+ 2a0在R上恒成立，贝U实数a的取值 范围是 .【解析】 I x2 ax+ 2a0在R上恒成立， = a? 4 2a0, 0a 0的解集是（一2, ）,则a + b的值是 .2 1 1【解析】 由已知得方

3、程ax2+ bx+ 2 = 0的两根为一-,b= 1+1a 2 3（-2）解得a=12b = 2,. a+ b= 14.【答案】 -14错误!I t 属解下列不等式（1）3+ 2x X 0； X2 + 3 2x;元二次不等式的解法2xx 11.【思路点拨】 （1）先把二次项系数化为正数，再用因式分解法;式法求解；（3）移项通分，转化为一元二次不等式求解.【尝试解答】 （1）原不等式化为X2 2x 3 0,即（x 3）（x+ 1） 0,故所求不等式的解集为x| 1 x 3.（2）原不等式化为x2 2x+ 3 0,.= 4 12= 8V 0,又因二次项系数为正数，不等式X2+ 32x的解集为R.（

4、2）用配方法或用判别 T x1? xT 10?肖0 ? （x 1）（x+ 1） 0 且 x 1.原不等式的解集为1, I）.,现律方法&（见学生用书第2页）a a得： = ；, 2 =；431a0 时，4V 3，解集为XXV 4或 x 3;2a= 0 时，X2 0,解集为xx R 且 x 0;3av0时，一a a,解集为xXV舟或x a.4 3 3 4“综上所述：当a 0时，不等式的解集为xixva或x a；当a = 0时，不等式的解集为xx R且x 0;当av0时，不等式的解集为xxv3或x a4.,解含参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项若含有参数应讨论参数是等于 0,小于0,还是大于0

5、,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.（2）判断方程实根的个数，讨论判别式 与0的关系.（3）确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的 大小关系，从而确定解集形式. 解关于X的不等式x2 （a + 1）x+ av 0.【解】 原不等式可化为（x a）（x 1）v 0. 1时，原不等式的解集为（1, a）;当a=1时，原不等式的解集为空集；当aV1时，原不等式的解集为（a, 1）.不等式ax2+ x+ bv O的解集为厂!规律方法 （1） 给出一元二次不等式的解集， 则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根.（2） 三个二次的关系体现了数形结合，以及函数

6、与方程的思想方法.若关于X的不等式-a V 1的解集是xxv 1或x 2,求实数围.【解】 V 1?（a 1）X+ 1V O? （a 1）x + 1（x 1） V O,由原不等式的解集是xXx1 x1V 1 或 x 2,a -1 V O, I知 L 1 = 2? a= *L a 1实数a的取值范围是1.若不等式mx2 mx 1V O对一切实数X恒成立，求实数 m的取值范围. 【思路点拨】 分m = O与m O两种情况讨论，当 m O时，用判别式法求解. 【尝试解答】 要使mx2 mx 1V O对一切实数X恒成立，若m= O ,显然1 V O; mV O,右mO ,则* 2 解得4VmVO,方法

7、卜= m + 4m V O,1. 不等式ax2+ bx+ c O的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a= O时，b = O, c O;Jr a O, 2当a O时，* 不等式ax2+ bx+ CV O的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a = O时，v O; ”a V O,b = O, CV O；当 a O 时，1AV O.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是 主元，求谁的范围，谁就是参数.对任意a 1, 1不等式X2 + （a 4）x+ 4 2a0恒成立，则实数 X的取 值范围是 .【解析】 设f（a） = （x 2）a+ x2 4x+ 4,则原问题可

8、转化为一次函数 （或常数函数）f（a）在区间1, 1上恒正时X应满足的条件，故应有f （ 1 ）f （1） 0.x2 5x+ 6 即2x2 3x+ 2 化为*（X 2） （ X 3）（x 1）（ x 2）解之，得XV 1或X 3.【答案】 XV 1或x3名师微博也个过程解一元二次不等式的一般过程是: 一看（看二次项系数的符号）,二算（计算判别式，判断方程根的情况），三写（写出不等式的解集）.囤两点联想不等式ax2+ bx+ c0（或ax2 + bx+ CV 0）（a 0）的求解，善于联想：（1）二次函数y= ax2 + bx + C的图象与X轴的交点，（2）方程ax2+ bx+ C= 0（a

9、0）的根，运用好“三个二次”间的 关系.囤三个防范1二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是 否为零的情况.2.解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若 不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.3不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述.育考葆脸蹈考侑（见学生用书第3页）a-盂兔吐 * * * *命题透视从近两年的高考试题来看， 一元二次不等式的解法、 含参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点. 常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推

10、理论证能力及转化与化归的思想.思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值E!例題（2011浙江高考）设x,y为实数，若42 + y2 + Xy= 1 ,则2x+ y的最大值是 .【解析】 法一 设 2x+ y=t, y= t -2x,代入 42+ y2+ Xy= 1，整理得 62- 3tx+ t21 = 0.关于 X 的方程有实根，因此 = （ 3t）2- 4 6 （t2- 1） 0,解得一 210 t21055则2x+ y的最大值是響.5法二 / 1 = 4x2+ y2+ Xy= （2x+ y）2 3xy=（2x+ y）2-（2x+ y）2-3 （2x2= 5（2x + y）2,2 10（

11、2x+ y）2 8,-暑 2x+ y即-2510 2x+ y 55 5答案】 2510阅卷心语易错提示：（1）换元后，不会从关于 X的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思维受阻.（2）不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答.防范措施：（1）应熟练掌握一元二次方程与其判别式 之间的关系，关于 X的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负.遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知.自生体验1. （2012 天津高考）设 x R ,则“ x1”是“ 2x2+ X-10” 的（ ）A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】 2x2+ X- 10的解集为xx2或x2? 2x2+ X- 10,但 2x2+ X- 10D? xg.则“x 1是“ 2x2+ X- 1 0”的充分不必要条件.2. （2013清远模拟）不等式ax2+ 4x+ a 1 - 2x2对一切x R恒成立，则实数a的取值范 围是 .【解析】 由题意知，不等式 （a+ 2）x2 + 4x + a 1 0对一切 x R恒成立，则有a+ 2 解得a2.= 16 4 （a+ 2）（ a 1 ）v 0,【答案】 （2, + ）