资料华东理工大学本科生线性代数第七册Word格式文档下载.docx

1、（1）由 ，解得的特征值为: ,当时, 解方程 , 由, 得基础解系为 ,故对应的全部特征向量为 ;故对应的全部特征向量为 . （2） 由, 得基础解系为 , ，故对应的全部特征向量为 ;当时, 解方程: , 由故对应的全部特征向量为.2. 已知3阶矩阵的特征值为,求的特征值. 容易证明， 当是的特征值时, 则矩阵的多项式必有特征值.设, 则有特征值: , , .3.设矩阵, 且的特征值为, 求.因为有特征值为得: , 即, 解得 , 无限制, 故.4.设, 且有特征值, 则=（ ）. （A）; （B）; （C）; （D）. B. 一方面； 又, 所以得. 5.设向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,

2、 试求常数的值.解：设, 左乘得 , 即 ,即, 解得, 故有或.6. 设分别是矩阵属于不同特征值的特征向量, 试证: 不可能是的特征向量. 设是的对应于特征值的特征向量, 即有,另一方面, 又有综合得再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”, 知必有 即得 , 与已知条件矛盾, 故命题得证.7. 设为阶矩阵, 证明与有相同的特征根.证明: 只要证明的特征值都是的特征值即可.如果0是的特征值, 则得 , 从而, 故0也是的特征值;再设是的任意一个非零特征值, 对应的特征向量为,即有 两边左乘得 , 即显然（否则有, 得到, 矛盾）,故也是的特征值, 对应的特征向量为.8设为实正交

3、矩阵, 即, 证明: 的特征值的绝对值只能是或. 设是的特征值, 是对应的特征向量, 即有所以有结合上述两式得, 即. 5.2 相似矩阵1.已知是阶可逆矩阵， 如果与矩阵相似，则下列四个命题中，（1）与相似, （2）与相似, （3）与相似, （4）与相似, 正确的命题共有（ ）.（A）;A. （2）、（3）、（4）显然；（1）成立是因为.2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？ （2）; （3） .（1）显然有三个不同的特征值, 故有三个线性无关的特征向量, 从而相似于对角阵.（2）,由得A的特征值再由知方程组有两个线性无关的特征向量；而单根必有另一特征向量, 故有三个线性无关的特征向量，从

4、而三阶矩阵能够相似于对角阵.（3）,再由, 知方程组只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵没有三个线性无关的特征向量, 故不能相似于任何对角矩阵.3. 设矩阵. （1）证明可对角化; （2）计算.（1） 由, 可得矩阵的特征值位.对应特征值, 有两个线性无关特征向量 , ；对应特征值, 有一个线性无关特征向量 ；因为有三个线性无关的特征向量, 所以可对角化.取, 则有;（2）由（1）知, 而, 故 4已知矩阵与相似，（1）求；（2）求一个满足的可逆阵. （1）由相似于, 得 , 即亦即 解之得 ；（2）与有相同的特征值, 解方程组 , 得特征向量 , 解方程组 , 得特征向量 ,取 , 则有. 5.3 实对称矩阵1.求正交矩阵, 将下列矩阵正交对角化. （2） . （1）由, 可得特征值为，当 解方程组, 得基础解系, 单位化得;当 解方程组, 得基础解系，单位化得;取, 则有（2） 由, 可得 特征值为,当 解方程组, 得基础解系, ，正交化得, ,再单位化得 , ;当 解方程组, 得基础解系,单位化得,2. 已知3阶实对称矩阵的特征值为6,3,3, 对应于特征值3的特征向量为, , 求的对应于特征值6的特征向量及矩阵. 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以的对应特征值6的特征向量为与都正交，于是得到和,取一非零解,再取, 则有,所以.