等价无穷小量的应用 数学与应用数学毕业论文.doc

1、等价无穷小量的性质及推广应用 摘 要 等价无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到洛比达法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下等价无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用等价无穷小量.关键词：等价无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性目 录1 引言32 文献综述32.1 国内外研究现状32.2 国内外研究现状评价32.3 提出问题33等价无穷小量的概念及其重要性质33.1 等价无穷小量的概念43.2等价无穷小量的重要性质53

2、.3等价无穷小量性质的推广54 等价无穷小量的应用94.1求函数的极限94.2等价无穷小量在近似计算中的应用104.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限104.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用115等价无穷小量的优势125.1运用等价无穷小量求函数极限的优势125.2 等价无穷小量在求函数极限过程中的优势146 结论156.1主要发现156.2启示156.3局限性166.4努力方向16参 考 文 献171 引言等价无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中等价无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别

3、是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对等价无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2 文献综述2.1 国内外研究现状 现查阅到的国内外参考文献115中，作者们都不同程度地探讨了等价无穷小的概念及其重要性质和应用。文献1同济大学应用数学系主编.高等数学.杨文泰 的文献2都从不同程度上讲解了 等价无穷小的概念。彭康青,马振民的文献5，尤晓琳,吴振芬的文献4屈红萍,赵文燕的文献8都对等价无穷小求极限进行了讲解研究并得出一些方

4、法；文献3王斌对用罗比塔法则求未定式极限的局限性进行了探讨。冯录祥，段丽凌,杨贺菊，王强，龚萍，张云霞，陈大桥，张高明，李权，蹇小平， 殷君芳等分别在文献6，7,9-15中对等价无穷小进行了一定的讲解与探究，提出了一些合理的应用方法和推广实例，但存在一定的极限.2.2 国内外研究现状评价在查阅到的国内外参考文献1-15中，对等价无穷小作了一定的研究，给出了一些建议与方法，但系统性不强，比较零散，但在数学中，等价无穷小的应用是很重要的。2.3 提出问题本文在查阅到的相关参考文献的基础上，对等价无穷小的应用，提出了开门见山直接导入，并通过相关例题说明其概念，性质及其应用。3等价无穷小量的概念及其重

5、要性质无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当xx0时(或x)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当xx0时(或x)时为无穷小。当lim=1，就说与是等价无穷小。 常见性质有： 设, 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， 若,， 且lim存在，则lim=lim 若，则 性质表明等价无穷小量的商的极限求法。性质表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论： 若,， 且lim=c(-1)，则+证明： lim+=lim1+=lim1+c1+=lim1+c1+c=1 +而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)”这个条件，千篇一律认为“,，则有+ 若,， 且li

6、mABCD存在，则当ABCD0且 limABCD存在，有limABCD=limABCD此性质的证明见文献2，性质、在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“lim=c(-1)”，“ABCD0”的使用。3.1 等价无穷小量的概念定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量. 如函数, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x0 时的无穷小量.对于数列只有一种情形, 即n, 如数列 为n时的无穷小量或称为无穷小数列.注意：1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量

7、无限趋近于0 而又不等于0.2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数 当x 时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量.3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.3.1.1 无穷小量的比较1) 若存在正数K和L,使得在某上有,则称与为当时的同阶无穷小量.特别当 则称与是同阶无穷小.2) 若=1, 则称与是等价无穷小量, 记为.3) 若= 0, 则称是高阶无穷小, 记作=.注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x0 时,与 都是无穷小量, 但它们不能进行阶的比较.3.2等价无穷小量的重要性质设, 等均为同

8、一自变量变化过程中的无穷小, 若, 且lim 存在,则lim=lim （） 若,则.性质表明等价无穷小量量的商的极限求法.性质表明等价无穷小量的传递性.3.3等价无穷小量性质的推广, 且lim=c(-1),则+.证明 因为lim= 所以+.而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(-1)”这个条件,千篇一律认为“,则有+ 在同一变化过程中, ,且存在,则=.证明 因为 =.故结论得证.若, 且lim存在,则当0且 lim存在,有lim=lim.证明 因为 ,又,于是,从而 =1,即同理可证.故命题得证.(4) 设在自变量的某一变化过程中, 、及、都是无穷小量.若、且存在且,则有.若、

9、且存在且,则有.若、且存在且,则有.证明 因为=.又因为,故上式等于1. 因为=.又因为,故上式等于1. 要证成立,只需证,因为,所以结论得证.性质（1）、（3）的求极限中就使等价无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim =c(-1)”,“ 0”的使用.注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,等价无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.4 等价无

10、穷小量的应用 等价无穷小量的应用在冯录祥老师的关于等价无穷小量代换的一个注记、王斌老师的用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨、华东师范大学数学系的数学分析、盛祥耀老师的高等数学、马振明老师和吕克噗老师的微分习题类型分析、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents A. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital LibrariesC. USA Austin Texas: s. n以及刘玉

11、琏老师和傅沛仁老师的数学分析讲义中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：4.1求函数的极限在求极限中经常用到的等价无穷小量有-1, , ,( 0).例1 求.解 当0时,.原式= = .例2 求.解 原式= = (,)= .此题也可用洛必达法则做,但不能用性质做.所以,=0,不满足性质的条件,否则得出错误结论0.4.2等价无穷小量在近似计算中的应用如：例3 解 因为时,.所以. 故 4.3利用等价无穷小量和泰勒公式求函数极限例4 求极限解 由于函数的分母中（0）,因此只需将函数分子中的与分母中的cosx和分别用佩亚

12、诺余项的麦克劳林公式表示,即：,.所以.例5 由拉格朗日中值定理,对任意的-1,存在,使得.证明.解 因,所以,根据题设所给条件有即,所以,.以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用.4.4 等价无穷小量在判断级数收敛中的应用在正项级数的审敛判别法中,用得比较多的是比较审敛法的极限形式,它也是无穷小的一个应用.比较审敛法的极限形式：设和 都是正项级数, 如果=l(0l0 或l=+,且级数发散,则级数发散.当=1时,就是等价无穷小量.由比较审敛法的极限形式知,与同敛散性,只要已知,中某一个的敛散性,就可以找到另一个的敛散性

13、.例6 解 .,所以,收敛. 例7 研究的敛散性解 =1 而发散, 发散.从以上的例题可以看出,在级数敛散性的判别中,等价无穷小量发挥了重要的作用.在很多题目中,我们需要综合运用罗比达法则、等价无穷小量的性质、泰勒级数等相关知识,才能达到简化运算的目的.5等价无穷小量的优势这一部分的内容是我在听了郑老师和郭老师的数学分析课以后,由于他们教学方法的鲜明对比而深受启发,在他们讲解数学分析其他部分的比较与分析时,我也希望自己能找到一个他们没有整理过的知识点经过自己的努力完成对它的比较与分析,因此我选择了这一部分内容.请看下面的内容：5.1运用等价无穷小量求函数极限的优势例8 求解 解法一（等价无穷小量替换）：,由无穷小替换定理有：=.解法二（两个重要极限）：由于,=.解法三（洛必达法则）：=.由此例可以发现,很多时候求解函数极限的方法多种多样.其中包括极限的运算法则、两个重要极限、洛必达法则以及无穷小替换等等.所以我们求解一道题时要进行全