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1、现代控制；状态方程；稳定性；最优控制；AbstractThis article is a complete review of modern control theory course, the main contents of the modern control theory, including the control system of the state space expression and its solution, the controllability of linear control systems and can view, stability and Lyapuno

2、v method, the synthesis of linear time-invariant system and optimal control theory. This article through to all parts of the control theory, compose the main framework of modern control theory and the basic content of each department.Keywords: Modern control; State equation;Stability;Optimal control

3、一、控制理论的发展历史控制理论是关于各种系统的一般性控制规律的科学，它研究如何通过信号反馈来修正动态系统的行为和性能，以达到预期的控制目的。控制理论是有实践中发展而来的，自动控制理论的形成远比人们利用自动控制装置晚很多。工业中最早的自动控制装置是瓦特发明的蒸汽机中的调速器，但那时他并不是建立在理论的基础上，而是一种凭借经验的所为。当然也正是因为社会实践中遇到了很多的问题难以解决，才促使人们对其思考，总结，并逐渐形成今天我们所有的理论。控制理论也是这样的，实际系统往往含有许多未知的不确定因素，为了对它进行有效的控制，就要对它进行系统辨识，建模，跟踪，对测量信号进行包括滤波，预测以及状态估计在内的

4、各种科学处理，然后设计反馈控制规律，使系统的某些性能达到预期的最优控制目标。概括的讲，控制理论的发展大体经历了三个时期：第一个阶段是20世纪40年代末到50年代的经典控制论时期，着重研究单机自动化，解决单输入单输出（SISO）系统的控制问题，它的主要数学工具是微分方程，拉普拉斯变换和传递函数，主要研究方法是时域法、频域法和根轨迹法，主要问题是控制系统的快速性，稳定性及其精度。20世纪20年代到40年代，马克斯威尔对装有调速器的蒸汽机系统动态特性的分析，马诺斯基对船舶驾驶控制的研究都是控制理论的开拓性工作。奈奎斯特，伯德等人对单回路反馈系统的研究结果显示出反馈系统即使在对系统情况知道不多时也能起

5、到很好的作用。第二个阶段是20世纪60年代的现代控制理论时期，着重解决机组自动化和生物系统的多输入多输出（MIMO）系统的控制问题；主要数学工具是一次微分方程组，矩阵论，状态空间法等；主要方法是变分法，极大值原理，动态规划理论等；重点是最优控制、随即控制、核心装置是电子计算机。20世纪50年代后期到60年代初期是控制理论发展的转折时期，第二次世界大战后华尔德的序贯分析和贝尔曼的动态规划是转折时期的开端，这些理论受到最优统计决策和资源分配中的序贯规划问题的研究的激发。他们在概念上的贡献是考虑了一大类以初始状态参数化了的动态优化问题，这个理论的中心问题是建立最优性能的动态规划方程，从它的解就可以确

6、定最优反馈控制规律。与此同时，优化领域中的另一个长期被忽视的强调不等式约束的线性和非线性规划也开始得到发展，这个领域的研究人员首先设计了便于计算机计算的数值方法，这种方法后来在控制中变得十分有用。苏联学者在20世纪50年代对包含非线性特性、饱和作用和受到限制的控制等因素的系统的最优瞬态的研究表现出很大的兴趣，这些学者的研究导致了庞特里亚金的“极大值原理”，极大值原理的贡献可说是20世纪50年代和60年代对于大量轨迹优化数值计算方法的研究和冲力，这种研究最后导致许多空间运载器的成功的设计，其中包括阿波罗计划和宇航飞行计划。第三个阶段是20世纪70年代的大系统理论时期，着重解决生物系统、社会系统这

7、样一些众多变量的大系统的综合自动化问题；方法以时域法为主，重点是大系统的多级递阶控制；核心装置是网络化的电子计算机。随着人工智能的发展和引入了新的计算机结构，控制理论和计算机科学的联系愈来愈密切，近年来已有一些专家系统可以自动寻求最优随即控制和滤波问题的理论解和数值解。在控制框架上将符号运算和数值运算相结合的研究工作正在开展。智能控制的概念也在发展，其目的之一是将当前的控制理论和尚未成型的人工智能成功的合为一体。离散时间系统理论架起了一座通向扩展了的状态机器理论的桥梁，在将来可能为评价计算机系统的性能提供了一个建模工具。二、现代控制理论的基本内容现代控制一般是指20世纪五六十年代所产生的一些重

8、要控制理论，主要包括：用状态空间法对多输入多输出复杂系统建模，并进一步通过状态方程求解分析，研究系统的可控性、可观性及其稳定性，分析系统的实现问题；用变分法、最大值原理、动态规划原理等求解系统的最优控制问题，其中常见的最优控制问题包括时间最短、耗能最少等，以及它们的组合优化问题，相应的有状态调节器、输出调节器、跟踪器等综合设计问题；最优控制往往要求系统的状态反馈控制，但许多情况下，系统的状态很难求出，往往需要一些专门的处理方法，如卡尔曼滤波技术等。2.1 控制系统的状态空间表达式在经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或者传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来

9、。实际上系统除了输出量这个变量之外，还包含其他相互独立的变量，而微分方程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的，因而不能包含系统的所有信息。显然，从能否完全揭示系统的全部运动状态来讲，用微分方程或传递函数来描述一个系统相比用状态空间表达式来描述有其不足之处。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的，它能反映系统的全部独立变量的变化一个系统在一个特定的时刻都有其特定的状态，每个状态都可以用最小的一组独立的状态变量来描述。比如若系统有n个变量x1,x2,.xn,他们都是实践t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1,x2,.xn为轴的n维状态空间

10、上的一点来表示，即可以用一个向量形式来表示系统的状态。在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态特性，状态方程和输出方程合起来叫做系统的状态空间表达式。2.2 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，它们是卡尔曼在1960年首先提出来的，也是最优控制和最优估计的设计基础。当然系统的能控性和能观性研究一般都是基于系统的状态空间表达式的。2.2.1 线性控制系统的能控性能控性是指外加控制作用u（t）对受控系统的状态变量x（t）和输出变量y（t）的支配能力，它回答了u（t）能否使x（t）和y（t）做任意转移的问题。它只是考察系统在控制作用u（t

11、）的控制下，状态矢量x（t）的转移情况，与y（t）无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。对于一个线性定常系统：=Ax+Bu，如果存在一个分段连续的输入u（t）,能在有限时间区间t0, tf内，使系统由某一初始状态x（t0）,转移到指定的任一终端状态x（tf）,则称此状态时能控的。若系统所有状态都是能控的，则称此系统为状态完全能控的，或简称系统是能控的。对于一个线性连续时变系统：=A（t）x+B（t）u,其能控性的定义与定常系统的定义相同，但是A（t）、B（t）是时变矩阵而非常系数矩阵，其状态矢量x（t）的转移，与初始时刻t0的选取有关，所以在时变系统能控性的定义中，应强调在t0时刻系统是

12、能控的。对于一个单输入的n阶线性定常离散系统x（k+1）=Gx（k）+Hu（k）,其中u（k）是标量控制作用，它在（k,k+1）区间内是个常值，则其能控性定义为：若存在控制作用序列u（k），u（k+1），.，u（l-1）能将第k步的某个状态x（k）在第l步上达到零状态，即x（l）=0，其中l是大于k的有限数，那么就成此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态x（k）都是能控的，那么称此系统为完全能控的，即能控系统。线性定常系统能空性的判别标准有两种形式：一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型（,）,再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性

13、。2.2.2 线性控制系统的能观性现代控制系统大多采用反馈控制形式。其反馈信息是由系统的状态变量组合而成，但并非所有的系统的状态变量都能够观测到，于是提出了能否通过对输出的测量获取全部状态变量的信息，这就是系统的能观测问题。能观性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，是指系统的测量输出向量y（t）识别状态向量x（t）的测辨能力，它回答了能否通过y（t）的测量值来识别x（t）的问题。能观性所表示的是输出y（t）反映状态矢量x（t）的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即：=Ax， x（t0）=x0y=Cx如果对任意的输入u，在有限的观测时间

14、tft0,使得根据t0， tf期间的输出y（t）能唯一地确定系统在初始时刻的状态x（t0），则称状态x（t0）是能观测的，若系统的每个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的。定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的C阵，判别其能观性；另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。2.3 自动控制系统的稳定性对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难发挥作用的。从直观上讲，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一个干扰信号的作用下，其状态偏离了原有的平衡位置

15、，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后在有限的时间内，系统会在自身作用下回到回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出，输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受到干扰信号的影响，当干扰信号取消后，系统的内部状态会在一定的时间内恢复到原来的平衡状态。早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，他的基本思路和分析方法与经典理论是一致的。李雅普诺夫第二法的特点是不求解系统方程，而是通过李雅普诺夫函数的标量函数来直接判断系统的稳定性的。由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观的找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V（x）,作为虚构的广义能量函数，然后根据V（x）=dV（x）/dt